paleoforum.ru

Цитата: Alexy от апреля 24, 2012, 14:31:07
Так всё таки пока нету приложений паракомпактам и бикомпактам САМИМ ПО СЕБЕ, а не их некоторым частным случаям вроде эвкидового пространства?

Мне такое применение неизвестно. Но и структуры весьма чужды моей деятельности. Лучше уточнить этот вопрос у соответствующих специалистов.

Цитата: Дж. Тайсаев от апреля 22, 2012, 19:35:09
у меня вопрос к уважаемому Бертрану, Адмиралу, Лангусту и прочим, кто в теме. Сегодня узнал что Флоренский писал, что якобы мнимые числа никак не отражены в нашей реальности и значит существует иная реальность, где это может как то реализоваться. Мне что-то про фракталы жена говорила, она тоже математик, но и она не смогла объяснить, как во фракталах можно использовать мнимые числа, если они впринципе невычисляемы. Я тут полный профан, так что не обессудьте если что.

Сначала несколько вводных замечаний.

Вот представьте, что я сделал из пластилина модельку броненосца «Потёмкин» в масштабе 1:500 и из папье-маше модельку моста через пролив Босфор Восточный в том же масштабе. Понятно, что эти штуки к реальности почти никакого отношения не имеют. У броненосца нет двигателя, винты не вертятся, из труб дым не идёт, пушки не стреляют и вообще в воде он тонет. А мост не выдержит даже одного автомобиля, а в воде размокнет. Однако если я попутаюсь провести игрушечный броненосец под игрушечным мостом, я смогу совершенно точно сказать, прошёл бы реальный броненосец под реальным мостом или зацепил бы мачтой за пролёт.

Резюме. Соответствие реальности штука довольно относительная. Даже нечто, к реальности не имеющее никакого отношения, может помочь нам понять что-то в реальности. Этот забавный процесс называется моделированием.

Моделировать можно что угодно и чем угодно. Можно, например, из пластилина смоделировать математику. Например,  слепить 4 шарика и практически проверить, что 2+2=4. А казалось бы, какое отношение имеет пластилин к арифметике? :~)

Другой вопрос – насколько адекватной будет модель. Это уже зависит от того, насколько точно вы учли свойства моделируемого процесса и насколько хорошо использовали возможности моделирующей среды. В общем, соответствие между моделью и реальностью (и в частном случае — соответствие между математикой и реальным миром) проходит через наши мозги.

Короче говоря, математика – это один из множества инструментов моделирования. А добиться соответствия модели реальности – это наша проблема.

Теперь конкретно о комплексных числах. Если вы спросите у инженера-электронщика (у меня, например), соответствует ли нечто в реальном мире комплексным числам, то он не то чтобы удивится, а вероятно не поймёт вопроса. Потому что он с молоком матери впитал понятие «комплексное сопротивление».

Все мы помним, что в школе изучают законы постоянного тока (закон Ома, два закона Кирхгофа, формулы для параллельного и последовательного соединения сопротивлений/источников тока/источников напряжения). Но оказывается, что если мы перейдём к переменному току и кроме обычных сопротивлений будем рассматривать ёмкости и индуктивности, то эти законы и формулы, вообще говоря, перестают рулить. Скажем, если последовательно соединить два источника переменного напряжения с разными фазами, то результирующее напряжение не будет равно сумме напряжений исходных источников.

Зато если напряжения источников выражать комплексным числом (модуль комплексного числа равен амплитуде, аргумент равен фазе), то закон сложения напряжений начинает действовать. Более того, если ёмкости сопоставить некое мнимое сопротивление 1/iwC, а индуктивности — мнимое сопротивление iwL (i – мнимая единица, w – циклическая частота, C – ёмкость, L - индуктивность), то происходит чудо – абсолютно все законы постоянного тока начинают действовать и для переменного тока. Естественно, все арифметические операции для действительных чисел нужно заменить на соответствующие операции для комплексных чисел.

А поскольку любой сигнал произвольной формы можно представить в виде суммы синусоид (ряд Фурье), и любой проводник обладает и сопротивлением, и индуктивностью, и емкостью, то в любой электрической системе напряжения, токи и сопротивления штуки принципиально комплексные, соответствующие величины для постоянного тока — всего лишь частный случай, когда мнимые части равны нулю.

А где ещё комплексные числа так чудесно рулят?
Наверное между теми разными процессами, для описания которых хорошо рулят комплексные числа, можно найти некие структурные сходства?

Другой очевидный пример применения комплексных чисел – описание частиц в квантовой механике. Там они описываются в виде комплексной волновой функции. То есть, грубо говоря, любая частица – это не шарик, а скорее размазанное в пространстве облако, причём плотность этого облака разная в разных точках пространства и выражается комплексной величиной, модуль которой имеет вполне понятный физический смысл – он равен вероятности обнаружить частицу в окрестностях данной точки.

Как соотнести такое описание со здравым смыслом – отдельный вопрос. Скажем, можно считать, что плотность квантового облака в отличие от обычного, атмосферного, в каждой точке пространства постоянно меняется по синусоидальному закону с разными амплитудами и фазами. А синусоидально меняющаяся величина, как я уже говорил, прекрасно описывается комплексным числом.

Ещё один пример — специальная теория относительности, пространство Минковского. Как вы знаете, интервал в пространстве Минковского выражается формулой, отдалённо напоминающей теорему Пифагора

S^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 - (ct)^2

Так вот, если формально считать время мнимой переменной U = ict, то формула для интервала примет вполне привычный вид

S^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 + U^2

Возможна (и в начале 20 в. делалась) формулировка СТО в евклидовом пространстве с одной мнимой координатой. Эта формулировка была вполне эквивалентна тому, что общепринято сейчас.

В теории обработки сигналов есть два эквивалентных описания сигнала — во временно'й области (то есть зависимость уровня сигнала от времени) и в частотной области (зависимость амплитуды и фазы спектральных составляющих сигнала от частоты). А раз уже у спектральной составляющей есть амплитуда и фаза, значит разумно предположить, что спектральная функция — комплексная. Так оно и есть!

В теории автоматического управления (это один из выживших отпрысков вымершей как мамонт кибернетики) вообще все события происходят в комплексном пространстве. Там есть совершенно безбашенные с точки зрения простого обывателя методы. Скажем, критерий устойчивости Найквиста. Берётся передаточная функция системы и на комплексной плоскости рисуется её амплитудно-фазовая характеристика. Об устойчивости системы можно судить по тому, сколько петель её АФХ описывает вокруг точки (-1; 0i) :~)

Цитата: Alexy от апреля 24, 2012, 01:18:44

Цитата: Дж. Тайсаев от апреля 23, 2012, 21:03:11Они конечно не ДОЛЖНЫ, но всегда почему то отражают и по принципу экстраполяции и аналогии, ЕСЛИ ВСЁ ИЗВЕСТНОЕ В МАТЕМАТИКЕ ОТРАЖАЛО

Если не ошибаюсь, например всякие топологические выкрутасы с бесконечностью - паракомпакты, бикомпакты и т п - не находят никакого отражения в природе или тем более применения

Поскольку сам я не математик, то сошлюсь на мнение одного знакомого математика, доктора наук. Он говорил, что какой бы абстрактной и оторванной от жизни ни была математическая теория, рано или поздно находится какой-то физический процесс, который прекрасно моделируется этой теорией. :~) В 20 веке подтверждений этому не счесть. Теория относительности, квантовая механика, разные объединительные калибровочные теории...

Спасибо, особенно понравилось решение теоремы Миньковского, это же надо, фактически вышло вычисление квадрата гипотенузы для нормального эвклидового четырёхмерного пространства, без каких либо поправок на релятивистские эффекты

Цитата: AdmiralHood от апреля 24, 2012, 17:16:18
S^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 - (ct)^2

Справедливости ради надо сказать, что сигнатура в пространстве Минковского обычно берётся с противоположными знаками.

Цитата: AdmiralHood от апреля 24, 2012, 17:45:35

Цитата: Alexy от апреля 24, 2012, 01:18:44

Цитата: Дж. Тайсаев от апреля 23, 2012, 21:03:11Они конечно не ДОЛЖНЫ, но всегда почему то отражают и по принципу экстраполяции и аналогии, ЕСЛИ ВСЁ ИЗВЕСТНОЕ В МАТЕМАТИКЕ ОТРАЖАЛО

Если не ошибаюсь, например всякие топологические выкрутасы с бесконечностью - паракомпакты, бикомпакты и т п - не находят никакого отражения в природе или тем более применения

Поскольку сам я не математик, то сошлюсь на мнение одного знакомого математика, доктора наук. Он говорил, что какой бы абстрактной и оторванной от жизни ни была математическая теория, рано или поздно находится какой-то физический процесс, который прекрасно моделируется этой теорией. :~) В 20 веке подтверждений этому не счесть. Теория относительности, квантовая механика, разные объединительные калибровочные теории...

У этого математика случайно не косая сажень в плечах?

Флоренского тоже не стоит недооценивать, одна эта фраза чего стоит "Непрерывность изменений имеет предпосылкою отсутствие формы"

Цитата: AdmiralHood от апреля 24, 2012, 17:45:35сошлюсь на мнение одного знакомого математика, доктора наук. Он говорил, что какой бы абстрактной и оторванной от жизни ни была математическая теория, рано или поздно находится какой-то физический процесс, который прекрасно моделируется этой теорией. :~)

В 20 веке подтверждений этому не счесть. Теория относительности, квантовая механика, разные объединительные калибровочные теории...

Всё-таки математических теорий наверное намного больше, чем физических

И в одной только топологии масса всячины создана и надоказана топологами - только, если не ошибаюсь подавляюще бОльшая часть применения нигде не имеет

Цитата: Влад от апреля 25, 2012, 08:26:22
У этого математика случайно не косая сажень в плечах?

Косая в плечах на казённых харчах (стихи тiпа)