Автоколебания в экологии и других сферах (поиск общих закономерностей?)

[Mr. B]

Так наверное ВООБЩЕ ЛЮБАЯ природная или техническая система может "ПОМНИТЬ" ПРОШЛОЕ только какими-то РЕАЛЬНО СУЩЕСТВУЮЩИМИ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ НОСИТЕЛЯМИ?

Носители Вас несут куда-то явно не туда. Рассмотрим следующее уравнение:

dx/dt=g(x,t), t<t_0,
dx/dt=f(x,t), t>=t_0,

где x - неизвестная, а f и g - некоторые функции, t_0 - некоторая постоянная, интересующий момент времени.

В момент t=t_0 динамика системы подчиняется второму уравнению, равно как и для всех t>t_0. При этом, на динамику в момент t=t_0 (и, очевидно, t>t_0) функция g(x,t) не оказывает влияния. Если известно значение неизвестной x в точке t_0, то вся её предыдущая история не оказывает никакого влияния на динамику в будущем. Иначе говоря, "вся информация о прошлом заложена в настоящем" (данный жаргон достаточно вольный и означает, что если известно настоящее, то прошлое не имеет значения для динамики системы в будущем).

[Mr. B]

влияет то только настоящее, но оно всё равно зависит от прошлых состояний и если мы моделируем, то будущие состояния должны экстраполировать с учётом прошлых

Совершенно верно. При этом, может случиться так, что к одному и тому же состоянию можно прийти "несколькими путями". Эти пути и не влияют на динамику системы в настоящем (и, очевидно, в будущем).

[Дж. Тайсаев]

влияет то только настоящее, но оно всё равно зависит от прошлых состояний и если мы моделируем, то будущие состояния должны экстраполировать с учётом прошлых

Совершенно верно. При этом, может случиться так, что к одному и тому же состоянию можно прийти "несколькими путями". Эти пути и не влияют на динамику системы в настоящем (и, очевидно, в будущем).

а вот это уже похоже на аттракторы

[василий андреевич]

Тут бы чуть разобраться с аттракторами или положениями равновесия, что бы не путать их со странными аттракторами, у которых положение равновесия как бы размыто. Ведь от того в какую "точку" размытой области равновесия попадет система, зависит ее будущее.
  Но определяет ли прошлое, в какую точку странного аттрактора данная система должна "свалиться"?

[Mr. B]

а вот это уже похоже на аттракторы

Пожалуй, сходство здесь в большей мере только внешнее (например, среди свойств аттракторов имеется независимость предельных точек соответствующих им траекторий (в "области притяжения") от начальных данных). Предположение наличия аттракторов в обсуждаемом вопросе не требуется.

[Дж. Тайсаев]

Понятно. Спасибо. Я потому и написал что похоже, что был не уверен

[Mr. B]

Тут бы чуть разобраться с аттракторами или положениями равновесия, что бы не путать их со странными аттракторами, у которых положение равновесия как бы размыто.
[...]
  Но определяет ли прошлое, в какую точку странного аттрактора данная система должна "свалиться"?

Система может обладать несколькими аттракторами (обычными, странные пока оставлю в покое). Эти аттракторы обладают областями притяжения. В пределах одной области притяжения начальные данные не влияют на предельное состояние; выходя за пределы этой области можно попасть в пределы другой, которой соответствует своё предельное состояние.

[василий андреевич]

Эти аттракторы обладают областями притяжения. В пределах одной области притяжения начальные данные не влияют на предельное состояние; выходя за пределы этой области можно попасть в пределы другой, которой соответствует своё предельное состояние.

Не могу не сказать, что эти слова мне чрезвычайно нравятся.
Всё, что я пытаюсь интуитивно понять - могут ли сложные автоколебательные системы в процессе внутреннего энергообмена вырабатывать новые аттракторы, унаследованная изменчивость которых имеет закономерную тенденцию?
  Если вырабатывать могут, а в биосфере это сплошь и рядом, то можно попробовать разделить "обновляемые аттракторы" на два альтернативных направления развития: деградационное и прогрессирующее. Эволюцией же при этом придется считать прогрессирующее направление, возможное только за счет "питания" деградационными направлениями.

[Mr. B]

Всё, что я пытаюсь интуитивно понять - могут ли сложные автоколебательные системы в процессе внутреннего энергообмена вырабатывать новые аттракторы, унаследованная изменчивость которых имеет закономерную тенденцию?
...

Аттракторы определяются уравнением, поэтому они не появляются со временем. Но в случае неавтономных уравнений (с "законами", зависящими от времени) возможна ситуация, когда в разное время могут эти аттракторы будут то притягивать, то отталкивать. Например, периодически. См., например, аттракторы логистического отображения при разных значениях параметра лямбда (например, в Википедии). Уравнение отображения имеет вид:

x'=lambda*x(1-x),

где лямбда - параметр, определяющий отображение. Область действия отображения - отрезок [0,1]. Данное уравнение определяет динамическую систему с дискретным временем. Пояснение такое. Пусть задано некоторое начальное значение x_0, тогда уравнение даёт возможность определить x_1. Затем, на основе x_1 значение x_2. И т.д.

Здесь имеется следующая достаточно примечательная ситуация. При малых лямбда отображение обладает единственной неподвижной точкой, которая является аттрактором. При увеличении лямбда происходит бифуркация (а именно, бифуркация Хопфа), вследствие которой этот аттрактор теряет устойчивость, но возникает цикл периодом. При дальнейшем увеличении происходит новая бифуркация Хопфа, превращающая все имеющиеся циклы в неустойчивые и вводя соответствующие им устойчивые циклы с двойным периодом. И т.д. Примечательность здесь состоит в древовидной структуре картины зависимости размещения аттракторов от параметра лямбда: их количество с ростом лямбда постоянно удваивается (значения лямбда, соответствующие ветвлению, являются точками бифуркации).

Имеются также модели, которые обладают аттракторами, которые выглядят как "переменные", хотя системы сами по себе являются автономными. Примером аттракторов такой системы является аттрактор Лоренца с гомоклиническими траекториями. Подчеркну, что в этом случае слово "аттрактор" используют скорее в силу традиции. Точки, притягивающие в одном секторе, но отталкивающие в другом, аттракторами не являются.

[Alexy]

Так наверное ВООБЩЕ ЛЮБАЯ природная или техническая система может "ПОМНИТЬ" ПРОШЛОЕ только какими-то РЕАЛЬНО СУЩЕСТВУЮЩИМИ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ НОСИТЕЛЯМИ?

Рассмотрим следующее уравнение:
dx/dt=g(x,t), t<t_0,
dx/dt=f(x,t), t>=t_0,
где x - неизвестная, а f и g - некоторые функции, t_0 - некоторая постоянная, интересующий момент времени.

В момент t=t_0 динамика системы подчиняется второму уравнению, равно как и для всех t>t_0. При этом, на динамику в момент t=t_0 (и, очевидно, t>t_0) функция g(x,t) не оказывает влияния. Если известно значение неизвестной x в точке t_0, то вся её предыдущая история не оказывает никакого влияния на динамику в будущем. Иначе говоря, "вся информация о прошлом заложена в настоящем" (данный жаргон достаточно вольный и означает, что если известно настоящее, то прошлое не имеет значения для динамики системы в будущем)

А существуют ли системы, у которых вся информация о прошлом НЕ была бы заложена в настоящем?
Если
1) такие системы существуют,
то можно ли пример такой природной или технич системы?

А если таки
2) В ЛЮБОЙ природной или технич системе ВСЯ информация о прошлом заложена в настоящем,
то не понятно, какие же объекты реального мира описываются только диф ура-ми с запаздывающим параметром и не могут быть описаны диф ура-ми без запазд парам?

[Mr. B]

А существуют ли системы, у которых вся информация о прошлом НЕ была бы заложена в настоящем?
...
то не понятно, какие же объекты реального мира описываются только диф ура-ми с запаздывающим параметром и не могут быть описаны диф ура-ми без запазд парам?

Разумеется, существуют. Не зря же придумали уравнения с запаздыванием.

Например, развитие тех же биологических популяций более точно описывается именно уравнением с запаздыванием (в отличии от традиционной Лоттки-Вольтерра). В случае неограниченных ресурсов уравнение для одновидовой популяции имеет вид

dx/dt=ax(t-r),

где r>0 - величина запаздывания, "a" - коэффициент размножения. Параметр r здесь как раз соответствует репродуктивному возрасту организмов. Смертностью в данном случае, правда, сделано пренебрежение. Сейчас речь не об этом. Соответствующие слагаемые при необходимости можно добавить.

Такой вид уравнения объясняется следующим. Если в момент t-r было некоторое количество особей, то в "настоящий" момент t ровно такое же количество особей будут обладать возрастом r или больше и, следовательно, только эти особи будут способны к размножению.

[Alexy]

Спасибо! Всё вроде понял

Так понятие обратной связи  как-то формализовано? Или оно весьма обтекаемо и у него нету точного определения, которым бы можно было пользоватися в математике?

Из БСЭ это не очень понятно, хотя там сказано, что "Обратная связь является фундаментальным понятием кибернетики, особенно теории управления и теории информации"
Может у Винера есть строгое определение обратной связи? Но я что-то его там не вижу, хотя может не заметил (ибо оно возможно как-то особо не выделено, а полностью врубиться в такие тексты сложно?)?

[Mr. B]

Спасибо! Всё вроде понял

Так понятие обратной связи  как-то формализовано? Или оно весьма обтекаемо и у него нету точного определения, которым бы можно было пользоватися в математике?

Это понятие не чисто математическое, а исходит из приложений. По всей видимости, его "отчим домом" является теория управления, и в наиболее общем виде его можно определить через её термины следующим образом. Системой с обратной связью является всякая система, состояние которой зависит не только от входного сигнала ("контроля", "управления"), но и от состояния самой системы ("обратная связь").

Если говорить о системах дифференциальных уравнений, которыми описываются системы с обратной связью, то они могут быть сведены к общему виду и наличие запаздывания там необязательно. Таким образом, данный термин касается именно характера приложения, но не характера уравнений.

Может у Винера есть строгое определение обратной связи? Но я что-то его там не вижу, хотя может не заметил (ибо оно возможно как-то особо не выделено, а полностью врубиться в такие тексты сложно?)?

Строгого там нет. Тем не менее, имеется подробное описание. Это тоже неплохо.

[Дж. Тайсаев]

а чего там чётко определять то? И так всё предельно ясно, обратная связь по Винеру это изменение характера внешнего воздействия в зависимости от полученной информации от того объекта, которое получает это воздействие, как его кормчий (кибернетикос) на лодке
а математически это невозможно отразить, можно условно обозначить как экспоненциальную зависимость, но в матмоделях это уже будет слишком большим упрощением, вот в компьютерных имитационных моделях без проблем, там надо просто на каждом шаге опрашивать выходные даные и через условный оператор коректировать дальнейшее действие

[Alexy]

Если говорить о системах дифференциальных уравнений, которыми описываются системы с обратной связью, то они могут быть сведены к общему виду и наличие запаздывания там необязательно
Таким образом, данный термин касается именно характера приложения, но не характера уравнений

А те системы диф уравнений, которыми описываются системы БЕЗ обратной связи, НЕ могут быть сведены к этому общему виду (а только к каким-то другим)? Или это не так (ведь тогда можно было бы дать строгое мат определение)?