Автоколебания в экологии и других сферах (поиск общих закономерностей?)

[Mr. B]

Большое спасибо!

Так "нейтральная устойчивость" и означает, что "система изменяется строго периодично: вся её динамика повторяет её динамику за период"?

Чем же это тогда отличается от НЕасимптотической устойчивости?

1. Да. Но это утверждение имеет место лишь для автономных систем, т.е. систем, инвариантных относительно сдвига времеми, т.е., в которых в любой момент времени "все законы движения" неизменны (таковой, например, и является система Лоттки-Вольтерра).
2. Это синонимы.

[Mr. B]

А есть строгое определение, что такое запаздывающий параметр?

Дифференциальные уравнения с запаздывающим параметром - это уравнения, в которых имеются слагаемые порядка, отличного от старшего, вычисляемые не в "настоящий момент времени", а в некотором прошлом. Например:

dx/dt=ax(t)+bx(t-r),

где x - неизвестная функция, a,b - некоторые действиетльные параметры, r>0 - величина запаздывания. Имеются и куда более изощрённые примеры.

[василий андреевич]

Запаздывание в обменных процессах, как я понимаю, является обязательным, но не причинностным параметром, вынуждающим самостоятельные объекты перейти в автоколебательный режим, то есть, образовать систему взаимодействия, где суммарная энергия выше суммы энергии частей.
  Очень подозреваю, что именно эта дельта энергий и ответственна за то упорядоченное взаимодействие, которое можно назвать эволюцией "хаоса в порядок" или самоорганизацией. Под таким углом зрения, дивергенцию "признака" можно рассмотреть как образование колебательной системы с каким-то (пусть временнЫм) запаздывающим параметром. При этом образование или выработака такого запаздывающего параметра должна быть соподчинена возможностям данного признака к делению на части, которые сложат систему.
  Тогда, в теории, имеем, что дивергенция (мутационна она или нет) является естественным стремлением единого объекта распасться на части таким образом, что бы образовалась система колебательного контура с подбираемым (настраиваемым) параметром запаздывания.
  А какие подтверждающие или опровергающие примеры здесь можно было бы предъявить? Допустим, два маятника, покоящиеся на одной горизонтальной струне. Струна не натянута - два маятника, как один. Натяжение струны, как изменение внешней среды, приведет к тому, что будут меняться длинны нитей маятников, таким образом, что бы вырабатываемый запаздывающий параметр организовывал самонастраивающуюся колебательную систему. Наконец, струна натянута до нулевых колебаний - два маятника при этом уже выработали свои длины нитей таким образом, что бы образовались кратные чатоты колебаний. При этом слово кратность становится ключевым. Отсюда, дивергенция не может приводить к такому делению признака, когда образуются дробные (т.е. любые) варианты. А это в свою очередь, означает избирательность мутационного процесса...

[Alexy]

Дифференциальные уравнения с запаздывающим параметром - это уравнения, в которых имеются слагаемые порядка, отличного от старшего, вычисляемые не в "настоящий момент времени", а в некотором прошлом. Например:
dx/dt=ax(t)+bx(t-r),
где x - неизвестная функция, a, b - некоторые действиетльные параметры, r>0 - величина запаздывания. Имеются и куда более изощрённые примеры

Так Лотки-Вольтерры без запаздывающих параметров? Или это как раз "изощренный пример", и если в этой модели выразити одну переменную через другую, то появится слагаемое вида bx(t-r)?

[Mr. B]

Так Лотки-Вольтерры без запаздывающих параметров? Или это как раз "изощренный пример", и если в этой модели выразити одну переменную через другую, то появится слагаемое вида bx(t-r)?

1. Да, без. Изощрённые примеры могут содержать операторы типа Вольтерра и Фредгольма (т.е., "распределённое запаздывание", как в этом случае говорят), и оно может быть, кроме того, даже бесонечным и т.п.
2. В этой модели соотношения  между параметрами системы всегда будут оставаться в "настоящий момент". "Прошлое" не появится никак.

[Alexy]

А есть строгое определение, что такое запаздывающий параметр?

Дифференциальные уравнения с запаздывающим параметром - это уравнения, в которых имеются слагаемые порядка, отличного от старшего, вычисляемые не в "настоящий момент времени", а в некотором прошлом. Например: dx/dt=ax(t)+bx(t-r), где x - неизвестная функция, a,b - некоторые действиетльные параметры, r>0 - величина запаздывания. Имеются и куда более изощрённые примеры

А могут ли быть такие изощрённые примеры, где в таком слагаемом стоит какая-то функция сразу ОТ ВСЕХ x-ОВ за какой-то НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОМЕЖУТОК времени (например от t до t-r)?

[василий андреевич]

Алексей, по-моему, Вы рветесь запутать себя математикой. ОНА же, как премьер-минист пред королевой. ЕЙ решать, как оптимально воплотить в жизнь те интуитивные намеки на реальность, которые приходят на ум королеве.
  Приспустим до бытового уровня квантовую теорию поля. Поле - это набор осцилляторов, которые могут покоиться, а могут пребывать в возбужденном состоянии. Квант поля - это солитонное возбуждение, передаваемое через осцилляторы, таким образом, что бы к минимуму свести рассеяние. Хаос квантов поля - это такие колебания осцилляторов, когда невозможно предсказать какой осциллятор и с какой амплитудой окажется возбужденным - по сути это есть состояние черного тела с уровнем энергии, адекватным той температуре, которую можно измерить идеальным термометром.
  По аналогии - биосфера есть набор осцилляторов, настраиваемых друг на друга таким образом, что бы создалась иерархия уровней организованного взаимодействия. При этом подборе можно выделить некое "целестремление" - привести иерархию осцилляторов к такому состоянию, что бы сумма всех колебаний стремилась к постоянной, измеряемой в градусах температуры. Отсюда, если "внешняя" температура повышается до критического состояния, то это вызывает (должно вызывать) в иерархии такие колебания, которые поглотят излишки тепла. При понижении температуры - опять-таки должны возникнуть такие колебания, которые приведут к выделению тепла.
  Поглотить тепло, значит, интенсифицировать обменные реакции между осцилляторами, выделить тепло, значит, вывести из системы, как отходы, часть энергомассы. Естественный отбор и занимается тем, что выводит отходы из биосферы в геосферу, выбраковывая осцилляторы, не способные более быть действенным звеном иерархии автоколебательной системы.
  Такова модель. И Вам (раз уж больше никто не хочет) решать, насколько она заслуживает внимания.

[Mr. B]

А могут ли быть такие изощрённые примеры, где в таком слагаемом стоит какая-то функция сразу ОТ ВСЕХ x-ОВ за какой-то НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОМЕЖУТОК времени (например от t до t-r)?

Могут. Именно это и называют распределённым запаздыванием.

[Alexy]

А модель Лотки-Вольтерры точно нельзя "вывернуть" так, чтобы она получилася с распределённым запаздыванием?

Ведь преобразовав уравнение для прироста жертвы
dх/dt=аx-bуx (где х - колич жертв, у - колич хищников, а a, b, с и g - коеф-ты),
если не ошибаюсь, можно представити х в виде функции от "ОТ ВСЕХ у-ОВ" за весь предшествующий  "НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОМЕЖУТОК времени" (т е представити х в виде функции от интеграла от у(t) за промежуток времени от t0 до t)?

А потом, подставив это представление икса в уравнение для прироста хищника
dy/dt=-gy+cxy,
получим как раз диф. уравнение с распределённым запаздывающим параметром?

[Mr. B]

если не ошибаюсь, можно представити х в виде функции от "ОТ ВСЕХ у-ОВ" за весь предшествующий  "НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРОМЕЖУТОК времени"

1. Из системы уравнений в том виде, в котором она предлагается, следует, что динамика системы зависит только от настоящего и не зависит от прошлого. Это значит, что система "не помнит" (как иногда говорят) прошлое и это значит, что динамика в настоящем никак не зависит от динамики в прошлом (даже если её задавать произвольно, т.е. без условия удовлетворения уравнений Лоттки-Вольтерра).
2. Так представить нельзя. Повторюсь, что соотношения в уравнении касаются лишь настоящего. Функциональными преобразованиями Вы никак не получите в одном уравнении неизвестную с разными значениями аргумента. Кроме того, любое введение запаздывания приведёт к неравносильному уравнению ещё и с таких соображений. Пространство решений уравнений с запаздыванием бесконечномерно, а без запаздывания - содержит два свободных параметра (поскольку два - размерность системы).

[Alexy]

Это значит, что система "не помнит" (как иногда говорят) прошлое и это значит, что динамика в настоящем никак не зависит от динамики в прошлом

Говоря "динамика в настоящем никак не зависит от динамики в прошлом", Вы имеете в виду лишь терминологию?
Ведь
помнить прошлое ЛЮБАЯ система очевидно может ТОЛЬКО какими-то существующими в настоящее время носителями (в данном случае текущими значениями х и у). Эти нынешние носители прошлого реально существуют, другое дело, что могут фигурировать или не фигурировать в системе уравнений

[Mr. B]

Говоря "динамика в настоящем никак не зависит от динамики в прошлом", Вы имеете в виду лишь терминологию?

Я говорю так, как оно есть. Переформулирую мысль выше. По каким бы законам не развивалась система в прошлом, на её динамику в настоящем это никак не влияет, а влияет лишь настоящее.

[Дж. Тайсаев]

"помнить" тут в другом контексте, насколько я понимаю имеется в виду лишь воздействие прошлых событий на настоящие, а вот когда прерывается причино-следственная цепочка событий (точка биффуркации), система как бы "забывает" полностью прошлое состояние. В упрощенных матмоделях иногда пренебрегают воздействием прошлых состояний во всех случаях, ещё один аргумент в пользу имитационных моделей

[Дж. Тайсаев]

влияет то только настоящее, но оно всё равно зависит от прошлых состояний и если мы моделируем, то будущие состояния должны экстраполировать с учётом прошлых

[Alexy]

Говоря "динамика в настоящем никак не зависит от динамики в прошлом", Вы имеете в виду лишь терминологию?

Я говорю так, как оно есть. Переформулирую мысль выше. По каким бы законам не развивалась система в прошлом, на её динамику в настоящем это никак не влияет, а влияет лишь настоящее

Так наверное ВООБЩЕ ЛЮБАЯ природная или техническая система может "ПОМНИТЬ" ПРОШЛОЕ только какими-то РЕАЛЬНО СУЩЕСТВУЮЩИМИ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ НОСИТЕЛЯМИ?
А есть ли
примеры природных или технических систем, в которых нельзя бы было найти такие "существующие в настоящее время носители прощлого"? (Что-то не приходит в голову)