paleoforum.ru

В одной теме была предложена модель:

Цитата: Николай от февраля 19, 2010, 16:43:45
Я тут придумал интересную (на мой взгляд) аналогию с шариками.

Представьте себе беговую дорожку по которой катятся очень лёгкие шарики. Если шарик добегает до финиша, он раздваивается и попадает на следующую беговую дорожку.  Шарики двух размеров - чуть побольше и чуть поменьше. Маленькие шарики катятся быстрее больших, и скорость их "размножения" значительно выше. Среди дорожек попадаются дырки, размером чуть меньше большого шарика. Эта дырки с силой засасывают воздух. Миновать такую не может ни большой, ни маленький шарик.
А теперь, что происходит. :) 
Если все шарики - маленькие, первая же дырка всех засосёт. Если попадается большой шарик, дырка его притягивает к себе, но он её затыкает, давая возможность проскочить и большим, и маленьким шарикам. Маленькие шарики размножаются быстрее, их процент стремительно растёт. Но когда их становится слишком много, и они бегут большим потоком, опережая большие, первая попавшаяся дырка резко эту ситуацию исправляет. Она засасывает всех маленьких, до появления первого большого. Таким образом устанавливается некий баланс, между количеством тех и других шариков. Если большой шарик всего один, а на дорожке дырка - он, естественно, не добегает и не раздваивается. И это плохо. Если большой шарик неожиданно появился на свободной от дырок дорожке, то на следующей их уже будет два, и даже при наличии там дырки, один из них её минует. Если "неопасных" дорожек попалось много подряд, то большие шарики хорошо размножатся, но маленькие размножатся ещё больше, в несколько раз больше. Однако, первая попавшаяся дырка исправит ситуацию на обратную: больших шариков станет сразу больше, потому что маленькие катятся быстрее и наткнутся на дырку раньше.

И шарики - неразумны. Они просто разного размера. Они просто катятся по дорожке. Шарики - это скорее иллюстрация генов, нежели особей. Большой шарик, как нетрудно догадаться, иллюстрирует "альтруистические" гены. И, как нетрудно догадаться, "альтруистические" гены вовсе не сокращают своим поведением своё общее количество. (если, конечно, дырок не слишком много. :) Но это уже глобальный катаклизм, там не выживет никто). Дырки - естественный отбор.

Кстати, программисты могут эту иллюстрацию реализовать на компьютере. :) Если будет желание, конечно.

Цитата: Imperor от февраля 19, 2010, 17:06:10
...в геноме присутствует некий ген, который включает механизм самоуничтожения, но включается он только в том случае, если идет соответствующий биохимический сигнал, указывающий на какое-то бедствие. А сигнал этот включается по краям колонии.

Цитата: Николай от февраля 19, 2010, 17:19:50
Вот картинка. Только я изобразил "бег по кругу" ,а не последовательность дорожек.  И комментарий: дырка может появляться неожиданно и в произвольном месте. Большой шарик, уничтожая дырку, погибает сам.
http://www.paleo.ru/forum/index.php?action=dlattach;topic=2742.0;attach=12425

Остаётся неясным один момент, а именно с чего бы имело место следующее

Цитата: Imperor от февраля 19, 2010, 17:23:49
В Вашей "модели шариков" существование большого числа "маленьких" шариков не препятствует существованию (и делению) больших шариков (а должно препятствовать).

если особи из разных классов практически ничем не отличаются, кроме одного гена? Но если данный момент будет разъяснён, его можно будет включить в модель.

Итак, построение математической модели (я всё же осмелюсь сделать кое-какие наброски).

Пусть x(t) - количество маленьких шариков, y(t) - количество больших шариков. Положим a,b>0 - коэффициенты размножения маленьких и больших шариков соответственно. При чём будем пока полагать, что a=b (поэтому везде далее вместо b будет употребляться параметр a). Положим, что отбор действует следующим (непрерывным) образом (т.е., речь о "скорости"):

1) он постоянно уменьшает количество особей y(t) на постоянное число, которое, положим, равно 1;
2) он уменьшает количество особей x(t) ровно на столько, сколько в среднем успевает погибнуть особей при данной концентрации x(t) во всей популяции, пока особь y(t) погибает одна (пример: если особей y(t) было только две, то в среднем успеет погибнуть половина особей x(t), пока из первой популяции погибнет только одна); т.е., число жертв равно произведению количества x(t) на концентрацию k(t)=x(t)/(x(t)+y(t)), итого: x(t)k(t).

Отсюда следуют уравнения (внутривидовой конкуренцией за поиск корма было сделано пренебрежение; пусть корма хватает):

(d/dt)x=(a-k)x;
(d/dt)y=ay-1.

Здесь требуется оценить параметр k(t), или, лучше, l(t)=1-k(t) - концентрацию y(t) во всей популяции.

Анализ

Проще всего это сделать следующим образом. Будем искать стационарные решения данной системы. Для этого положим производные нулём и рассмотрим алгебраические уравнения:

(a-k)x=0;
ay-1=0.

Отсюда:

y=1/a;
x=0 (не рассматриваем); x=1/(1-a).

откуда k=a; l=1-a (если данная величина положительна).

Добавлю только, что если там где-то оказываются отрицательные величины, то из этого следует, что модель не имеет положительных стационарных решений.

Откровенно говоря, я и сам не совсем ожидал получить такие результаты. Они, прежде всего, продиктованы неудовлетворительностью непрерывной модели, в связи с чем я лучше подумаю о дискретной. Однако тот факт, что совершенно необязательно l=0 уже заставляет кое о чём задуматься.

Меня могут упрекнуть, что, мол, устойчивость данных стационарных концентраций не доказана. Этим я заняться не удосужился, поскольку нужна новая модель.

Критика

Критика представлена примерно следующим высказыванием:

Цитата: DNAoidea от февраля 26, 2010, 17:32:33
Однако отбор в общем случае (кроме летальных или "очень вредных" мутаций конечно, иначе организму хана) куда медленнее мутагенеза, было бы иначе - не накапливались бы нейтральные замены, не было бы генетического дрейфа и т. д.
Однако - так или иначе - ген не может быть сам по себе практически неизменным участком ДНК - поддерживает его в стабильном (информационно) состоянии только отбор.

На это придется скрепя душой ответить, что отбор по всему остальному, видимо, не будет иметь в данной модели однонаправленной роли и, следовательно, ним будет позволительно пренебречь.

Недостатки построенной модели:

1. Возможность преодоления отбора элементами x лишь только использованием r-стратегии (т.е., большое а гарантирует увеличение численности x при произвольных прочих иных обстоятельствах).
2. Исходные предположения модели требуют уточнения.

Жду предложений по поводу улучшения модели с учётом того, что она уже будет дискретной (от случайных величин предлагаю пока воздержаться).

Также приветствуется критика биологической целесообразности модели и верности сделанных пренебрежений.

Цитироватьесли особи из разных классов практически ничем не отличаются, кроме одного гена? Но если данный момент будет разъяснён, его можно будет включить в модель.

Я в соответствующей ветке уже объяснял, как это можно включить в модель: ограничить количество размножений в единицу времени.  Когда маленьких шариков становится слишком много, они чаще бомбят размножалки (за счёт количества и большей подвижности) и тем самым не оставляют шансов на размножение "альтруистам". Фактически у "альтруистов" пик размножения приходится на короткий промежуток времени после появления и смерти "дырки.

Цитата: Николай от марта 11, 2010, 18:47:05
Я в соответствующей ветке уже объяснял, как это можно включить в модель: ограничить количество размножений в единицу времени.  Когда маленьких шариков становится слишком много, они чаще бомбят размножалки (за счёт количества и большей подвижности) и тем самым не оставляют шансов на размножение "альтруистам". Фактически у "альтруистов" пик размножения приходится на короткий промежуток времени после появления и смерти "дырки.

Но ген альтруизма же будет сохранён в половине случаев спаривания с эгоистами! Гибридное потомство будет на 50% состоять из тех и из тех. Ведь, насколько я понял, альтруизм альтруистов не в чём более не проявляется, кроме как в поведении в одной ситуации. Ведь в остальном это те же особи, в том числе и в размножении.

Ещё один момент. Если у кого есть книги по математической генетике, то буду благодарен за их предоставление прямо в этой теме.

Цитата: Bertran от марта 11, 2010, 20:26:06
Но ген альтруизма же будет сохранён в половине случаев спаривания с эгоистами! Гибридное потомство будет на 50% состоять из тех и из тех. Ведь, насколько я понял, альтруизм альтруистов не в чём более не проявляется, кроме как в поведении в одной ситуации. Ведь в остальном это те же особи, в том числе и в размножении.

Нет, не так. Если Вы ещё не читали, то почитайте вот это:

http://www.evolbiol.ru/altruism.htm

Фишка в том, что "эгоисты" должны получать серьёзную выгоду от паразитирования на колонии. И, получая эту выгоду, активнее размножаться. Гораздо активнее, чем "альтруисты". (В сущности, репродуктивное преимущество - это единственная реальная выгода в живом мире. И единственное мерило выживания.)

Сходите по ссылке, я рисовал модель, думая о бактериях из этой статьи.

Спасибо!

Итак, по новой.

Модель с дискретным временем.

Я ограничусь пока только составлением модели. Решение отложим пока в долгий ящик, тем более, что её всё равно требуется ещё обсудить.

Итак, сохраняя обозначения непрерывной модели, введу следующие предположения:

1) В следующий момент времени количество "маленьких шариков" (эгоистических особей) станет равно:

x+ax-kx-\alpha*x*(x+y),

где a>0 - коэффициет размножения, k=x/(x+y) - концентрация эгоистических особей, -/alpha*x*(x+y) - слагаемое, отвечающее за внутривидовую борьбу за корм. Последнее слагаемое - традиционно в подобных моделях; оно ограничивает рост популяции до некоего конечного значения.

2) В следующий момент времени количество "больших шариков" (альтруистических особей) станет равно:

y+by-1-\alpha*y*(x+y),

где b>0, b<a - коэффициент размножения, "-1" - "прирост" особей в следствие уничтожения дырки, -\alpha*y*(x+y) - борьба за корм.

Итак, получится система (разностных) уравнений:

x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-/alpha*(x(t)+y(t)));
y(t+1)=y(t)(1+b-/alpha*(x(t)+y(t)))-1.

Конечно, уравнения - не подарочек, но мне и не с такими приходилось встречаться.  :D

Остаётся один момент: как же соотносятся а и b?

Николай, последний вопрос не в последнюю очередь к Вам. Так что прошу меня поправить, если я что-то предположу не так, как следует.

Пусть (как и раньше) l(t)=1-k(t). Предположим, что интенсивность размножения альтруистов пропорциональна их концентрации, а в идеальном случае равна тому же постоянному параметру а. Иными словами, пусть b=al. В связи с этим уравнения примут вид:


x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-\alpha*(x(t)+y(t)));
y(t+1)=y(t)(1+a*l(t)-\alpha*(x(t)+y(t)))-1.

Так пойдёт?

 Видите ли, Бертран, я - не математик. И хотя со школьным курсом у меня было всё ок, я многое подзабыл, и мне сейчас придётся вникать в те формулы, что Вы предложили. :) Поэтому я сейчас буду задавать идиотские вопросы. :)

1. Что означает параметр alpha? Какие значения он принимает?
2. Что означает сочетание знаков -/?
3. t - это время, не так ли? А обозначения x(t), y(t) и т.п. означают некие параметры в соответствующий момент времени?
----------------------
В общем и целом.
Я больше думал о программном коде, в котором жёстко заданы только параметры размножалки. Все остальные имеют вероятностный характер и случайным образом  меняются (хотя и в некоторых, достаточно жёстких пределах). Траектории полёта шариков - случайные изменения радиусов окружностей в пределах "беговой дорожки". Скорость чуть-чуть "гуляет".  А дырка появляется в случайном месте с некоей частотой.
В математических формулах есть жёсткая детерминированность, которой я не предполагал. Например, у Вас есть чёткая математическая зависимость между концентрацией "альтруистов" и тем, сколько погибнет "эгоистов" с появлением дырки. Но, если дырка появляется в случайном месте, она может теоретически возникнуть прямо под "альтруистом" или у него перед носом. Тогда "эгоистов" может выжить гораздо больше, чем предполагается по Вашим формулам.  Т.е. изначально мне хотелось иметь в модели элемент вероятности и статистики. И мне, конечно, как художнику понятнее образы, чем формулы. :)

Модель у Николая очень показательная и её действительно лучше реализовывать в качестве имитационной модели, причём это совсем несложно.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15
Поэтому я сейчас буду задавать идиотские вопросы. :)

1. Что означает параметр alpha? Какие значения он принимает?
2. Что означает сочетание знаков -/?
3. t - это время, не так ли? А обозначения x(t), y(t) и т.п. означают некие параметры в соответствующий момент времени?

Вопросы - это хорошо. Значит, кому-то что-то интересно. Ответы:
1);2) \alpha - это "альфа", некоторая константа, "буква". Черта поставлена для того, чтобы отличать от простого набора букв и в следствие того, что так потребляется в текстовом редакторе Latex. "-" - естественно минус. Этот параметр является позитивным и его удобно брать маленьким, чтобы стабилизация количества особей произошла не на уровне 1-2 особи, а поболее. Учитывая малость, я его решил обозначить греческой буквой (как это довольно общепринято в математической литературе по качественной теории ДУ).
3) t - время, в остальном - также утвердительные ответы.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15
Я больше думал о программном коде, в котором жёстко заданы только параметры размножалки.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15Все остальные имеют вероятностный характер и случайным образом меняются (хотя и в некоторых, достаточно жёстких пределах).

Написание стохастических уравнений может привести к существенному расширению применяемого математического аппарата. Я подумаю над этим.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15В математических формулах есть жёсткая детерминированность, которой я не предполагал. Например, у Вас есть чёткая математическая зависимость между концентрацией "альтруистов" и тем, сколько погибнет "эгоистов" с появлением дырки.

Я там "усреднил" ситуацию, взяв, так сказать, математическое ожидание.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15Тогда "эгоистов" может выжить гораздо больше, чем предполагается по Вашим формулам.

Возможно. Но, мне кажется, эта поправка не влияет качественно на картину. Хотя, с другой стороны, если сначала отнять 20%, а потом 40%, то это будет в известной мере меньше, нежели оба раза отнимать по 30%.

В общем, беру опять паузу на обдумывание математической модели. Если возникнут идеи - рад буду выслушать (это я обращаюсь ко всем).

Цитата: Дж. Тайсаев от марта 14, 2010, 10:31:43
Модель у Николая очень показательная и её действительно лучше реализовывать в качестве имитационной модели, причём это совсем несложно.

Строго говоря, ответ, полученный при помощи компьютера таким способом, будет нестрогим. Я бы хотел не покидать пределы точных и строгих методов.

Идея с шариками - класс. Очень интереная версия. И как Вам такое в голову пришло. Интересно только, что это за "дырки". Надо какого-нибудь программера попросить сделать это в 3Д. Классная будет заставка.
Идея кстати близка к идее вечного двигателя, Вам не кажется?
Ух, я все это образно представил... Интересно, сложно сконструировать подобную модель?

Дырки - это отбор. Как шарики, так и дырки - идеализация реальной сиуации. Это модель. В общем, об этом уже сказано выше.

Цитата: pihto от апреля 04, 2010, 07:56:07
Идея с шариками - класс. Очень интереная версия. И как Вам такое в голову пришло. Интересно только, что это за "дырки". Надо какого-нибудь программера попросить сделать это в 3Д. Классная будет заставка.
Идея кстати близка к идее вечного двигателя, Вам не кажется?
Ух, я все это образно представил... Интересно, сложно сконструировать подобную модель?

Я пытался программиста упросить на работе, но так и не смог. :) Всё таки люди предпочитают отдыхать в свободное время.
------

Кстати, если Вы читали первоначальную ветку, где это обсуждалось, то видели, что модель сначала предполагалась скорее натурной, чем программной. Физические шарики, физические дырки. Дырка с силой засасывает воздух, маленькие проскальзывают массово, большой - затыкает её.

В общем, ввиду большого объёма математического аппарата и предполагаемых выкладок, стохастическую модель построю не ранее, чем данной ситуацией заинтересуется моё начальство.

Но, в целом, считаю, что детерминированная модель не так и плоха: это как-никак реализация некоторой средней ситуации, что вполне удовлетворительно для ряда практических задач, которые можно ставить применительно к данной модели.

Цитата: Николай от апреля 06, 2010, 14:42:41первоначальную ветку, где это обсуждалось, то видели, что модель сначала предполагалась скорее натурной, чем программной. Физические шарики, физические дырки. Дырка с силой засасывает воздух, маленькие проскальзывают массово, большой - затыкает её

А что за ветка?

 Ветка "Доказательства эволюции".

http://www.paleo.ru/forum/index.php/topic,2742.90.html

Там несколько моих сообщений.

"Домучаю" дискретную детерминированную модель (черновой вариант).

Итак, выше была получена система уравнений

x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-\alpha*(x(t)+y(t)));
y(t+1)=y(t)(1+b-\alpha*(x(t)+y(t)))-1.

Рассмотрим вопрос о наличии положений равновесия данной системы. Для этого положим инвариантность фазовых переменных (неизвестных функций) относительно времени. Т.е., пусть

x(t)=x, y(t)=y,

которые уже не зависят от времени. Ввиду этой подстановки система разностных уравнений преобразуется в систему алгебраических уравнений, в которой требуется найти величины x, y. Это будет система

x*(a-x/(x+y)-\alpha*(x+y))=0;
y*(b-\alpha*(x+y))=1.

Отмечая наличие положения равновесия x=0 (без эгоистов система выживет, без альтруистов - нет), будем далее искать ненулевое равновесие данной системы. Придём к выражению

a-x/(x+y)-\alpha*(x+y)=0;
y*(b-\alpha*(x+y))=1.

Из уравнений следуют равенства

a(x+y)-x-\alpha=0; x=(ay-\alpha)/(1-a) (предполагая a отличным от единицы);
y*(b-\alpha*(y-\alpha)/(1-a))=1.

Откуда:

\alpha*y^2-(b(1-a)+\alpha^2)y+1-a=0

Дискриминант квадратного уравнения:

D=(b(1-a)+\alpha^2)^2-4(1-a)\alpha>>0,

когда \alpha>>1. Чтобы не погрязнуть в корнях квадратных, воспользуюсь аппроксимацией, согласно которой

sqrt(a^2+b)=a+b/(2a)+...

Таким образом,

sqrt(D)=b(1-a)+\alpha^2-2(1-a)\alpha/(b(1-a)+\alpha^2)+O( \alpha^(-2) )

Квадратное уравнение имеет 2 положительных решения, если предположить выполнение неравенства a<1, что вполне естественно, если временной шаг (дискретного времени) взять небольшим. При этом, меньшее из них очень близко к нулю. Оно равно:

y_1=(1-a)/(b(1-a)+\alpha^2)+O( \alpha^(-3) ).

В силу малости данное значение рассматриваться далее не будет. С другой стороны, квадратное уравнение всегда имеет другое решение:

y=y_2=(b(1-a)+\alpha^2)/(\alpha)-(1-a)/(b(1-a)+\alpha^2)+O( \alpha^(-3) )=(b(1-a)+\alpha^2)/(\alpha)+O( \alpha^(-2) ).

Отсюда

x=(ab(1-a)+(a-1)\alpha^2)/(\alpha*(1-a))<0 (всегда).

В общем, пока приплыли. Нет времени искать ошибки, но тем не менее сохраню здесь, вдруг кто-то их найдёт за меня :D . Почему там оказалось меньше нуля - мне не совсем ясно. Вроде бы, не особо я там напренебрегал. Но, кто его знает.

Вот если бы реализовать аналитически стохастическую модель, а потом ещё проиллюстрировать посредством численных методов все возникающие аттракторы (проанализировав непрерывные и дискретные модели в детерминированном и стохастическом случаях с предоставлением биологической интерпретации предположений и результатов) - вот бы статья могучая вышла (по мат. биологии), страниц на 30-40 (а то и все 50)! Но пока до этого далеко.

В общем, продолжение следует.

Что-то Вы всего намешали в какую-то абракадабру - куча умных слов формул, а здравого смысла во все этой мешанине я лично  никакого не вижу. Разбирать каждую формулу неохота, навскидку - дифференциальную мат. модель можно строить только после трансформации дискретной модели предложенной Николаем в непрерывную.

Попробуйте начать с малого, найдите хотя бы как будет меняться численность шариков одного вида, например эгоистов, если альтруистов совсем нет и дырок тоже нет, для дискретной модели. Т.е. сколько их будет в таком случае после n циклов размножения на размножалках, если в нулевой момент времени их было C0, а коэффициент размножения K?

Цитата: Homo_sapiens от апреля 20, 2010, 10:35:53
Что-то Вы всего намешали в какую-то абракадабру - куча умных слов формул, а здравого смысла во все этой мешанине я лично  никакого не вижу. Разбирать каждую формулу неохота, навскидку - дифференциальную мат. модель можно строить только после трансформации дискретной модели предложенной Николаем в непрерывную.

В формулах суть. В них было вложено то, что Николай описал словами. Единственное - это сделано не очень точно и довольно поспешно. Как уже говорилось выше - стохастическая модель была бы здесь наиболее адекватной. Но и с детерминированными тоже, вроде, не всё так плохо.

Цитата: Homo_sapiens от апреля 20, 2010, 10:35:53Попробуйте начать с малого, найдите хотя бы как будет меняться численность шариков одного вида, например эгоистов, если альтруистов совсем нет и дырок тоже нет, для дискретной модели. Т.е. сколько их будет в таком случае после n циклов размножения на размножалках, если в нулевой момент времени их было C0, а коэффициент размножения K?

Эгоисты умрут на первом же шаге, согласно предположениям, если будут одни. Равновесие альтруистов в отсутствии эгоистов - находится проще простого, нужно положить x=0 в уравнения (хоть дискретной, хоть непрерывной модели) - и решить полученное квадратное уравнение.

Цитата: Bertran от апреля 22, 2010, 00:34:39

Цитата: Homo_sapiens от апреля 20, 2010, 10:35:53Попробуйте начать с малого, найдите хотя бы как будет меняться численность шариков одного вида, например эгоистов, если альтруистов совсем нет и дырок тоже нет, для дискретной модели. Т.е. сколько их будет в таком случае после n циклов размножения на "размножалках", если в нулевой момент времени их было C0, а коэффициент размножения K?

Эгоисты умрут на первом же шаге, согласно предположениям, если будут одни.

Как же они "умрут на первом же шаге", если я написал что "дырок тоже нет". Сколько их(эгоистов) в таком предельно простейшем случае будет после n циклов размножения?

Цитата: Bertran от апреля 22, 2010, 00:34:39
Равновесие альтруистов в отсутствии эгоистов - находится проще простого, нужно положить x=0 в уравнения (хоть дискретной, хоть непрерывной модели) - и решить полученное квадратное уравнение.

А чему тогда в отсутствии эгоистов будет равно альфа? Тоже нулю?

Цитата: Homo_sapiens от апреля 22, 2010, 08:19:18
Как же они "умрут на первом же шаге", если я написал что "дырок тоже нет". Сколько их(эгоистов) в таком предельно простейшем случае будет после n циклов размножения

Не припомню, чтобы Вы оговаривали где-то, что дырки нужно убрать. Но если хотите убрать - убирайте (что означает каждое слагаемое - я отмечал при их записывании). Потом нужно будет положить y=0, а затем - найти равновесие (алгебраическое уравнение степени не выше второй).

Цитата: Homo_sapiens от апреля 22, 2010, 08:19:18
А чему тогда в отсутствии эгоистов будет равно альфа? Тоже нулю?

Альфа больше нуля - постоянный параметр системы. Если эгоистов не будет, он ни на что не будет влиять.

Цитата: Bertran от апреля 22, 2010, 11:57:08
Не припомню, чтобы Вы оговаривали где-то, что дырки нужно убрать.

Перечитайте внимательно место где Вы меня цитировали постом выше.

Цитата: Bertran от апреля 22, 2010, 11:57:08
Но если хотите убрать - убирайте (что означает каждое слагаемое - я отмечал при их записывании). Потом нужно будет положить y=0, а затем - найти равновесие (алгебраическое уравнение степени не выше второй).

Хорошо вот Ваше уравнение описывающее численность эгоистов в следующий момент времени относительно предыдущего:
x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-\alpha*(x(t)+y(t))); 
y(t)=0 => k(t)=x(t)/(x(t)+y(t))=1  следовательно
x(t+1)=x(t)(a-\alpha*(x(t))   Допустим  а=2  т.е. каждый шарик на
"размножалке" удваивается тo есть  x(t+1)=2*x(t) Такой результат получится из Вашего уравнения только при  \alpha=0

Цитата: Bertran от апреля 22, 2010, 11:57:08
Альфа больше нуля - постоянный параметр системы. Если эгоистов не будет, он ни на что не будет влиять.

Так все-таки \alpha=0 или больше нуля? И какой будет численность
эгоистов после n циклов размножения В ОТСУТСТВИИ ДЫРОК и
альтруистов? В нулевой момент их численность была допустим C0.

Пардон. Не альфа, а а. Оба параметры малы, но положительны.

Мешают дырки - убирайте и смотрите, что будет. Моя роль тут уже, скорее, консультанта. Да и то: квадратные уравнения решать умеют, вроде, все.

a=2 лучше не полагать: слишком много. Если временной шаг мал, то малым будет и коэффициент прироста. А шаг нужно брать малым, поскольку реальное время, всё же, непрерывно. При большом шаге мы можем получить побочные эффекты, которые могут отдалить от понимания действительных процессов, поскольку делают модель очень грубой. Можно потерять (и, как показывает практика, это зачастую и случается) массу аттракторов. А их как раз и требуется всех отыскать.

По поводу непрерывной модели - как уже говорилось - её недостатком является возможность размножения эгоистов без альтруистов. Там оговорено, что параметр a должен быть малым, иначе модель приобретает не совсем желательные свойства: там оказывается возможной r-стратегия.

По поводу "размножалок" - их в прямом виде в модели нет. Они были заменены непрерывным или, соответственно, дискретным регенеративным процессом. Если их реализовать в прямом виде, то можно получить уравнения с запаздыванием. Исследование последних вообще может затянутся на кто-знает сколько. А стохастической теории таких уравнений, кажется, даже и в природе не существует. Так что слишком глубоко лучше не зарываться: можно никогда и не разгребтись.

Вот картинка  предложенная Николаем, на ней есть линии где шарики
размножают и участки где они движутся не меняя численности
(в отсутствии дырок). Для предельного упрощения задачи я предложил
Вам исследовать вариант как будет менятся численность эгоистов
когда дырок нет и альтруистов тоже нет, после того как шарики n раз пройдут линии размножения. Это задача для среднего уровня школьника, не очень старших классов и решается она в одну-две строчки, а Вы в ответ мне про сложности решений стохастических уравнений.   

Ну, конечно. Если Вы всё поубираете. И альтруистов, и дырки, и внутривидовую конкуренцию и стохастику. То ясно, что там останется сама лишь геометрическая прогрессия. Здесь, по-моему, и говорить не о чем.

Цитата: Bertran от апреля 22, 2010, 16:21:12
Ну, конечно. Если Вы всё поубираете. И альтруистов, и дырки, и внутривидовую конкуренцию и стохастику. То ясно, что там останется сама лишь геометрическая прогрессия. Здесь, по-моему, и говорить не о чем.

Ну если все-же написать формулу этой самой геометрическо прогрессии
и потом немного подумать как туда можно ввести и дырки и альтруистов
и внутривидовую конкуренцию, то по крайней мере на дискретной модели
показать эффекты эквивалентные альтруизму в биологии можно.
А уж затем, после того как все будет понятно на дискретной модели,
пытаться перейти к дифференциальной форме. 

Вот примерно этим я и хотел заняться. Поварьировать параметры, установить параметрические области, гарантирующие наличие нетривиальных допустимых устойчивых равновесий и т.п.

Но это всё, видимо, потом. Хотя, в целом, соглашусь в одном: дискретная детерминированная модель - это то, что может быть построено посредством численных методов даже школьником. Там ведь только рекуррентная зависимость. Но анализ этой модели будет не полным, если ограничится этим методом. Хотя и, конечно, будет весьма поучительным для самого школьника.

Решил я вернуться к этой старой теме, ограничиваясь пока что численным моделированием непрерывного случая с внутрипопуляционной конкуренцией. Т.е., была рассмотрена система:

(d/dt)x=(a-k)x-\alpha*xy;
(d/dt)y=by-1-\alpha*xy.

В целом, как и ожидалось, практически для всех начальных условий x0, y0, параметров a, b и параметра внутривидовой конкуренции \alpha существует ненулевое устойчивое равновесие. Иллюстрацию процесса можно увидеть на рисунке снизу. Также предлагается программа, в которой каждый желающий может убедится в том, что альтруисты (они зелёные) вымирают далеко не всегда.

В программе и в модели в целом, подчёркиваю, предполагается ситуация совершенно критическая для эгоистов. Это связано с тем, что сколько эгоистов в дырку не падает, они её не заткнут. Т.е., падают все, кроме тех, кто родился. Поэтому когда там вымирают альтруисты, то вымирают и эгоисты. А альтруисты вымирают там лишь только в том случае, если их оказывается достаточно мало (например, настолько, что прирост их популяции меньший, чем необходимо для устранения "дырок", появляющихся через каждый временной интервал единичной длинны).

Бросающимся в глаза также является отсутствие осциляций, в отличие от системы Лоттки-Вольтерра.

Перемещение и масштаб картинки программы регулируются перемещением соответственно левой и правой кнопки мыши по рисунку программы.

Если я правильно понял, шарики имеют только два размера: большой и маленький. Но поскольку наборы шариков представляют собой наборы генов: альтруистических и эгоситических, а ген гену, вообще говоря, рознь, то встает вопрос: на самом ли деле модель адекватно описывается только шариками двух разных размеров? Не следует ли вводить для функций x(t) и y(t) коэффициенты размера, например, массу шариков? Тогда, соответственно, и распределение масс шариков может повлиять на их скорости. Вообще, в этой модели, по-моему, было бы неплохо рассмотреть причину, которая заставляет шарики двигаться. Такой причиной может выступать сила естественного отбора, выражающаяся, например, в следующем: возникающая дырка искривляет пространство движений шариков, заставляя некоторые из них в эту дырку скатываться. Но тогда в модели возникнут уже вторые производные: d²x/dt² и d²y/dt².
******
Кстати, вопрос генетикам. Могут ли гены влиять друг на друга? Если да, тогда наши производные уже станут, по-видимому, частными, так как придется учитывать уже не только время, но и величины влияния.  :)

Цитата: V.V.P от октября 26, 2010, 14:09:42
Не следует ли вводить для функций x(t) и y(t) коэффициенты размера, например, массу шариков?
...
Но тогда в модели возникнут уже вторые производные: d²x/dt² и d²y/dt².

Механические аспекты модели я во внимание не брал. Читайте первое сообщение темы.

Цитата: V.V.P от октября 26, 2010, 14:09:42
Если я правильно понял, шарики имеют только два размера: большой и маленький. Но поскольку наборы шариков представляют собой наборы генов: альтруистических и эгоситических, а ген гену, вообще говоря, рознь, то встает вопрос: на самом ли деле модель адекватно описывается только шариками двух разных размеров? Не следует ли вводить для функций x(t) и y(t) коэффициенты размера, например, массу шариков? Тогда, соответственно, и распределение масс шариков может повлиять на их скорости. Вообще, в этой модели, по-моему, было бы неплохо рассмотреть причину, которая заставляет шарики двигаться. Такой причиной может выступать сила естественного отбора, выражающаяся, например, в следующем: возникающая дырка искривляет пространство движений шариков, заставляя некоторые из них в эту дырку скатываться. Но тогда в модели возникнут уже вторые производные: d²x/dt² и d²y/dt².
******
Кстати, вопрос генетикам. Могут ли гены влиять друг на друга? Если да, тогда наши производные уже станут, по-видимому, частными, так как придется учитывать уже не только время, но и величины влияния.  :)

В ветке, где я описывал модель, шарики двигались с разной скоростью. Большие -медленно, маленькие - быстро.
Модель, если помните, была вначале аналоговая, физическая. Дырка с силой всасывала воздух, а большой шарик, в силу своих размеров, был способен её заткнуть. Т.е. шарик или может, или не может заткнуть дыру. Как Вы понимаете, тут вряд ли возможны какие-то промежуточные состояния. Это и есть главный смысл их размеров, и того, что размеров всего два. И второе по важности значение имеет, конечно, влияние размера на скорость. Я с самого начала писал, что маленькие движутся быстрее и чаще бомбят размножалки.

 И, разумеется, эта модель, как и всякая другая, является приближением, описанием какой-то стороны явления. И, конечно, не претендует на Абсолютно Полное Описание Всего.

Кстати, программа содержит ошибку. Это же самое относится ко всем моим рассуждениям, начиная с первого сообщения. Так что вся тема может иметь лишь, максимум, математический интерес, поскольку уравнения решались без ошибок, ошибочным было их составление. Об этом я узнал, когда модель мы начали обсуждать с моими знакомыми-коллегами.

На самом деле, вместо системы

(d/dt)x=(a-k)x-\alpha*x(x+y);
(d/dt)y=by-1-\alpha*y(x+y)

необходимо брать систему

(d/dt)x=ax-x/y-\alpha*x(x+y);
(d/dt)y=by-1-\alpha*y(x+y),

которая отличается одним лишь слагаемым в первом уравнении. Вместо -kx необходимо взять -x/y. Именно столько погибнет "эгоистов", пока погибнет один альтруист.

Вот, что бывает, если никто не проверяет.

Касательно данной системы был проведён аналитический анализ, который показал, что при a<>b она не имеет ненулевых по обеим переменным состояний равновесия (имеет ненулевое состояние равновесия только по альтруистам).

Численное моделирование показало, что основной сценарий, который разыгрывается со временем, состоит в том, что сначала сосуществуют альтруисты и эгоисты, причём, последние размножаются быстрее и через некоторое время они начинают преобладать. Это увеличивает совокупный объём популяции и, следовательно, внутривидовую конкуренцию, что приводит к прекращению роста альтруистов и к их переходу в фазу депопуляции. Эгоисты продолжаю наращивать численность, поскольку a>b. Далее, когда альтруистов стаёт очень мало (около 10% от их начального количества и около 2% от количества эгоистов в текущий момент), эгоисты достигают максимума численности и также переходят в фазу депопуляции. Динамика альтруистов, тем временем, характеризуется приблизительно линейной зависимостью с отрицательным наклоном. Она таковой и будет продолжаться вплоть до уменьшения количества альтруистов до нуля. Весь этот процесс занимает довольно мало времени. За это время количество эгоистов начинает стремительно падать и оно обращается в нуль в момент достижения упомянутой почти линейной функцией нулевой отметки.

Таким образом, интересного мало. Модель нуждается в модификации.

Хотелось бы поставить хоть какую-то точку. Поэтому продолжим.

Модифицируем некоторые предположения.

1. Будем предполагать, что количество дырок не постоянно (что, в целом, довольно странно), а пропорционально количеству всех особей.

2. Введём параметр c>0. Этот параметр будет отвечать за интенсивность образования дырок.

3. Рождаемость альтруистов и эгоистов зависит от смертности от дырок. Она равна произведению свободной рождаемости и разности единицы и смертности от дырок. Для альтруистов эта смертность равна c, для эгоистов - cx/y.

Получим систему:

(d/dt)x=(a(1-cx/y)-cx/y)x-\alpha*x(x+y);
(d/dt)y=(b(1-c)-c)y-\alpha*y(x+y),

где a,b,c>0, a>b>c, \alpha>0 - малый параметр.

Численный анализ системы будет проведён на днях.

Численный анализ уже проведён. Таким образом, теперь "количество проблем" стало пропорционально количеству особей. Этот случай, как кажется, гораздо более распротранён в живой природе.

Предлагаются ко вниманию графические результаты численного моделирования и програмка (управление и цветовые конфигурации сохранены).