Автор Тема: загадки и головоломки  (Прочитано 42248 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Mr. B

  • Moderator
  • Участник форума
  • *****
  • Сообщений: 1809
  • NGC 6543
    • Просмотр профиля
    • РациоВики
Re: загадки и головоломки
« Ответ #15 : Сентябрь 08, 2012, 14:40:07 »


Моё решение (все углы - в градусах).

1. ADC=140; BCA=50 в силу равнобедренности, потому DCB=20.
2. Введём единицу длины так, чтобы основание треугольника стало равным единице.
3. Из теоремы синусов следует: DC=sin(10)/sin(140)=sin(10)/sin(40).
4. Проведя высоту в треугольнике ABC, получим: BC=1/(2*sin(40)).
5. По теореме косинусов для треугольника BCD: BD=\sqrt[1/(4*sin^2(40))+sin^2(10)/sin^2(40)-2*cos(20)*sin(10)/(2*sin(40)*sin(40))]=\sqrt[1/4+sin^2(10)-cos(20)*sin(10)]/sin(40).
6. Радикал можно упростить:
\sqrt[1/4+sin^2(10)-cos(20)sin(10)]= (отнимем и прибавим sin^2(20) ) =
=\sqrt[1/4+sin^2(10)-sin^2(20)-cos(20)sin(10)+sin^2(20)]= (понизим степень) =
=\sqrt[0,5*sin(30)-0,5(cos(20)-cos(40))-cos(20)sin(10)+sin^2(20)]= (преобразуем разность косинусов в произведение) =
=\sqrt[0,5(sin(30)-sin(10))-cos(20)sin(10)+sin^2(20)]=  (преобразуем разность синусов в произведение)
=\sqrt[sin^2(20)]=sin(20).
7. По теореме синусов из того же треугольника: sin(BDC)=sin(20)/(2*sin(40)*BD)=sin(20)/(2*sin(20))=1/2
8. Поскольку угол тупой, то BDC=180-arcsin(1/2)=150.

Может, кто-то придумает проще - интересно будет посмотреть. Но по всей видимости, целое решение здесь - просто совпадение или, точнее, тщательно подобранное условие.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Оффлайн Mr. B

  • Moderator
  • Участник форума
  • *****
  • Сообщений: 1809
  • NGC 6543
    • Просмотр профиля
    • РациоВики
Re: загадки и головоломки
« Ответ #16 : Сентябрь 08, 2012, 15:30:53 »
Да. Надо сказать, есть решения без дополнительных построений и есть без теорем типа синусов (правда, так, чтобы оба условия были выдержаны - нет).
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Оффлайн geky

  • Участник форума
  • Сообщений: 661
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #17 : Сентябрь 08, 2012, 17:32:37 »
Я решала с дополнительными построениями, сложно сказать, что проще.



0. Угол ABC = 80, углы ВAC и BCA равны, так как AB = BC. Угол ВAC = BCA = (180 - 80)/2 = 50.

1. Пересечение прямой CD с отрезком AB обозначаем точкой F.

2. Угол AFE = 180 - (50 + 30) = 100
Угол BFC = 180 - 100 = 80

3. Так как угол CFB = углу ABC, FC = BC = AB.

4. Угол FDA = 180 - (100 + 40) = 40
Так как угол FAD = углу FDA, AF = FD.
Так как AB = FC и AF = FD, FB = CD.

5. CE - высота треугольника FCB.
В равнобедренном треугольнике FEC: угол EFC = 80, угол FEC = 90, угол ECF = 10.

6. Проведем высоту DH треугольника ADC.
В треугольнике ADH: угол AHD = 90, угол HAD = 10,
то есть, все углы треугольника ADH равны углам треугольника FCE, следовательно
треугольники ADH и FCE подобны.

7. Катет DH треугольника DCH лежит напротив угла 30 градусов и равен половине гипотенузы CD.
CE – высота и медиана равнобедренного треугольника FBC, следовательно FE = 1/2 FB = 1/2 CD (так как FB = CD, см. пункт 4), то есть
DH = FE.
Так как треугольники EFC и ADH подобны и DH = FE, треугольники EFC и ADH равны.
Следовательно, AD = CF = AB, то естьтреугольник ABD – равнобедренный.
Отсюда угол BDA = (180 - 40)/2 = 70.

8. Угол BDC = 360 - (140 + 70) = 150.

Оффлайн Mr. B

  • Moderator
  • Участник форума
  • *****
  • Сообщений: 1809
  • NGC 6543
    • Просмотр профиля
    • РациоВики
Re: загадки и головоломки
« Ответ #18 : Сентябрь 08, 2012, 20:10:05 »
Менее тривиально так точно.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Оффлайн Николай

  • Участник форума
  • Сообщений: 2068
    • Просмотр профиля
    • http://www.n-kovalev.narod.ru
Re: загадки и головоломки
« Ответ #19 : Сентябрь 09, 2012, 01:57:26 »
 А можно и ещё проще и очевиднее, имхо. Думаю, комментарии излишни.
Человек не произошёл от обезьяны. Он ей так и остался.

Оффлайн Дж. Тайсаев

  • Участник форума
  • Сообщений: 9264
    • Просмотр профиля
    • Российская культурология
Re: загадки и головоломки
« Ответ #20 : Сентябрь 09, 2012, 08:58:08 »
Браво Николай. Очень изящное решение. Единственное, не хватает только пояснений как были найдены углы по 70 градусов, но по чертежу понятно, что ABD равнобедренный треугольник, значит (180-40)/2
Шматина глины не знатней орангутанга (Алексей Толстой).

Оффлайн geky

  • Участник форума
  • Сообщений: 661
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #21 : Сентябрь 10, 2012, 08:45:11 »
Николай, поясните, пожалуйста, из чего следует, что АВD – равнобедренный, я не поняла.



Вы доказали равенство углов в треугольниках FBE и GED, но из этого следует подобие треугольников, но не равенство. Равенство же углов AEF и GEA (либо углов FAE и GAE), из которого следовало бы равенство треугольников AEF и GEA, вы не доказали.
« Последнее редактирование: Сентябрь 10, 2012, 09:21:02 от geky »

Оффлайн geky

  • Участник форума
  • Сообщений: 661
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #22 : Сентябрь 10, 2012, 09:29:15 »
Цитировать
но по чертежу понятно, что ABD равнобедренный треугольник

«По чертежу понятно» – это не наши методы!  ;D

Оффлайн Влад

  • только палео
  • Участник форума
  • Сообщений: 1962
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #23 : Сентябрь 10, 2012, 12:38:35 »
Но ведь всё же из чертежа видно:
САЕ=АСЕ=30о
DAE=CAE-CAD=30o-10o =20o
EAF=DAB-DAE=40o-20o=20o

AEF=180o-EAF-AFE= 180o-20o-100o=60o

GEA=180o-GAE-EGA= 180o-20o-100o=60o

Оффлайн geky

  • Участник форума
  • Сообщений: 661
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #24 : Сентябрь 10, 2012, 12:44:22 »
Верно, согласна.

Оффлайн Viktor-2012

  • только палео
  • Участник форума
  • Сообщений: 161
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #25 : Сентябрь 11, 2012, 10:13:26 »
С совершенно приемлемой точностью (инженерной) при использовании современных программных средств можно использовать измерение неизвестных размеров в программе.
Например, берем MS Visio и делаем построение на основе известных длин линий и углов. Причем, при построении будет АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ (размеры задаются путем ввода чисел).
Потом просто в свойствах смотрим углы двух линий и вычитаем разницу... Вуаля...
В практическом применении такая методика вполне допустима с заданной в настройках программы погрешностью.
Хотя сравнительно аналитического метода точность графического ниже, но и графический применяется, а "программно-графический" - это поднятие точности графического на уровень точности аналитического с инженерной погрешностью.

ЗЫ: Используя VBA (макросы) можно автоматизировать построения и вводить промежуточные аналитические элементы (в код VBA, например, удобно "на лету" делать перевод единиц измерения)...
Это очень удобно для типовых расчетов и построений. MS Visio делает импорт данных, например, из MS Excel, куда, в свою очередь были экспортированы результаты расчета из других программ, например, Mathcad. Или расчет в самом MS Excel.
Графические построения будут мгновенны и их сложность возможна ЛЮБОГО УРОВНЯ.
Конечно, автоматизация есть уже в Компасе или в Про\Инжинир, но здесь есть своя простота и абсолютная универсальность. Программно можно задавать любые параметры по условиям (цвета линий, толщины и т.п.), параллелить алгоритм и т.д.
Минус - нет библиотеки стандартных элементов, как в Компасе, где также при построении в 3Д и автоматизации, еще одним кликом делаются разрезы и проекции... И т.д.
Такие "задачи" более интересны, чем просто манипуляции с абстрактными треугольниками...
« Последнее редактирование: Сентябрь 11, 2012, 10:28:19 от Viktor-2012 »

Оффлайн geky

  • Участник форума
  • Сообщений: 661
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #26 : Сентябрь 11, 2012, 12:18:46 »
Ну, интересность – дело очень субъективное. Кому-то интересно чертить в компасе, кому-то крутить у себя в голове абстракции. В моей субъективной реальности, последние, конечно, намного круче, потому что на десять десятков пучков мощных чертёжников в компасе приходится от силы один Григорий Перельман, но это тоже мои личные предпочтения, которые я никому не навязываю.
Если вам неинтересны такие задачи – так вы их не решайте, нет проблем. :)
« Последнее редактирование: Сентябрь 11, 2012, 12:37:03 от geky »

Оффлайн Viktor-2012

  • только палео
  • Участник форума
  • Сообщений: 161
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #27 : Сентябрь 11, 2012, 13:09:37 »
Я имею ввиду практическую сторону вопроса, интерес в таком применении.
Чисто философия интересна по-своему, можно с ее помощью оперировать целыми галактиками и глобальными вопросами мироздания.  :)
А я больше любитель решения простых и банальных практических задач, но с некоторой полезностью. Хотя, не прочь и пофилософствовать.
И эту задачу я решил, хоть и нестандартным путем. Его (способа) преимущество в отсутствии необходимости малейших знаний всяких теорем косинусов, катетов, вычислений и т.д. Такой методике я легко обучу первоклашку, а решение вышеизложенными способами будет для неумеющих делить и брать синус угла - невозможным. Вот это и есть практицизм.

Оффлайн geky

  • Участник форума
  • Сообщений: 661
    • Просмотр профиля
Re: загадки и головоломки
« Ответ #28 : Сентябрь 11, 2012, 13:23:33 »
Ну, по поводу практицизма замечу, что ни французские батоны, ни системы автоматического проектирования на деревьях не растут.  ;D

Оффлайн Дж. Тайсаев

  • Участник форума
  • Сообщений: 9264
    • Просмотр профиля
    • Российская культурология
Re: загадки и головоломки
« Ответ #29 : Сентябрь 11, 2012, 14:28:47 »
4 человека поочерёдно кушали пирог. Каждый тратил столько же времени, сколько остальные трое потратили бы, на то, что бы съесть половинку пирога.
На сколько меньше времени им понадобится, что бы съесть пирог вместе одновременно?
Шматина глины не знатней орангутанга (Алексей Толстой).