Автоколебания в экологии и других сферах (поиск общих закономерностей?)

[Alexy]

Так какое именно отклонение надо задать, я отсюда не увидел или не понял

[Mr. B]

Ну как же так? Вспомните элементы теории устойчивости по Ляпунову. Любое небольшое отклонение от равновесия приведёт к колебаниям. В случае асимптотической устойчивости они будут затухающими. В случае неасимптотической устойчивости будут незатухающими и т.п.

Детальнее об этом можно узнать в любой книге по качественной теории ОДУ. Это самые азы теории.

[василий андреевич]

В модели системы диф. уравнений важным является то, что решение приводит к формуле гармонического осциллятора. Какова будет амплитуда начального отклонения совершенно не важно. Допустим, месячная засуха с выгоранием травы и ослаблением жертвы уже выводят систему из равновесия, которая начинает колебаться в зависимости только от выбираемых коэффициентов. Это уже свойство системы. Здесь экология не при чем, она за рамками модели. О эволюции стоит начать говорить, если необходимо естественно подобрать коэффициенты друг под друга таким образом, что бы состоявшийся колебательный процесс не подорвал источники свободной энергии (травы), а поддерживал возобновляемый ресурс на стабильном уровне.
 Вот тут и вкрапливаются обратные связи между двухкомпонентной системой и возобновляемой средой. Отрицательная обратная связь в том, что когда происходит случайная высокоамплитудная флуктуация свободной энергии, на него быстро реагируют зайцы, волки медленнее. В целом же система, высокую, но узкую (по времени) флуктуацию доведет до низкой, но широкой, способствуя тем самым снижению катаклизмов в середе жизнедеятельности.
 Здесь интересно посмотреть и "от обратного". Есть стабильные условия с нулевым уровнем хаотических колебаний свободной энергии, т.е. с гарантированным уровнем изобилия-недостатка. Вопрос: выгодно ли с точки зрения плодовитости и хищника и жертвы перейти им к состоянию взаимодействия по закону гармонического осциллятора? Ответ на этот вопрос частично решает проблему причин вымираний и возрождений в глобальном (катастрофо-динозавровом) плане.
 Ответ далеко не однозначен. Что-то типа этого вы уже поднимали в темах о динамическом хаосе, а я, когда пытал про смерчь.

[Alexy]

Ну как же так? Вспомните элементы теории устойчивости по Ляпунову. Любое небольшое отклонение от равновесия приведёт к колебаниям. В случае асимптотической устойчивости они будут затухающими. В случае неасимптотической устойчивости будут незатухающими и т.п.
Детальнее об этом можно узнать в любой книге по качественной теории ОДУ. Это самые азы теории

Вряд ли я смогу разобраться сам
А может где-то выписаны условия, при которых в обычной модели хищник-жертва (Лотки-Вольтерры) колебания НЕ пойдут (т е условия равновесия), и условия, при  которых колебания в этой модели будут

[василий андреевич]

Алексей, не математика диктует природе, как ей вести себя. Математика только язык, на котором человек научился разговаривать с природой. Есть явление, суть которого завуалирована множеством сопутствующих явлений. Выделить суть, значит, описать ее математически. Сейчас, иной раз, наблюдается обратная картина, мы берем узкую формулу и стараемся запихнуть в нее многообразие спектра явлений. Такой путь возможен, но не является определяющим.
  Лотки и Вольтерра, по сути, описали наипростейший маятник минимумом параметров (всего-то два коэффициента) с которыми предлагают экспериментировать. То есть, они заранее ограничили возможности модели варьировать другими параметрами. Пока модельный маятник покоится, в нем уже заложена потенция маятника. Достаточно сделать коэффициенты равными единице. Это и будет равновесием столь маловероятным, сколь единственным в своем роде. Попросту, такое равновесие обречено на "мгновенное" вымирание, деградацию, рассеяние, согласно второго принципа Т-Д.

[Alexy]

Достаточно сделать коэффициенты равными единице. Это и будет равновесием столь маловероятным, сколь единственным в своем роде

Вы же сначала спрашивали вроде о начальном "отклонение от равновесия"?

Т е, если я правильно понял, о начальных значениях переменных, а не о коефициентах?

Так можно ли найти ДЛЯ лОТКИ-вОЛЬТЕРРЫ такие коефициенты, при которых вообще невозможно отсутствие колебаний, а возможно лишь или колебания или вымирание?

[василий андреевич]

Сознаюсь, я в математики такой тугодум, что с сожалением о собственной ущербности предпочитаю пользоваться общей рассудительностью.
  Допустим, что для поддержания системы хищник жертва достаточно коэффициента соотношения 1/н. Вот вам и равновесие, надо только определить устойчиво ли оно. Оговорюсь, что меня прискорбно удивляет убеждение многих биологов, которые довольствуются именно такими предпосылками эволюции. Дескать, такое положение является неустойчивым равновесием, а потому вся проблематика сводится к борьбе за балансирование на таком шатком основании. Для того и вводятся негэнтропийные модели с особой физикой, где баллансировка сводится к удержанию в узкой экологической нише, обеспечиваемой потоком диссипирующей свободной энергией.
  Вот я и заявляю, что негэнтропиные поиски тупиковы. Я бы отказался и от диссипирующей среды, но реалии таковы, что у нас есть возобновляемое Солнце и нечего тут гадать окуда в нем сконцентрировалась энергия. В расходящихся же "силовых линиях" естественно диссипирующей энергии, системе достаточно научиться попадать то в сгущение линий, то в его рассеянные участки, что бы получилось подобие реалистичной тепловой машине, колеблющейся между нагревателем и холодильником. (что такое работа, о том надо отдельно). Если колебательного процесса нет, то не будет никакой биологической деятельности. Будет только деградационный процесс от толчка Божьего творения. Впрочем так многие и судят.
  И я как-то не очень понимаю, почему Вы так зациклились на модели простейшего маятника, пусть описанного и через модель Лотки-Вольтерры. Ведь когда отношение хищник-жертва постонно во времени и пространстве, нет движения, есть неопределенность состояния, невероятная ни с каких реальных точек зрения. Это подобно тому, как рассчитать крепкость моста, если не предполагается движения по нему. Тут система должна держать только себя и ясно, что со временем произойдет случайность обязательно разрушащая этот мост. Ведь как только соотношение изменится, то это будет означать выведение маятника из равновесия и нет смысла в дальнейшей рассудочности, кроме как отказаться от хищника вообще, доведя систему до благоденствия в райских кущах.
  Но и эволюционного оптимума из этой модели мы не получим. Потому как нет обратных связей с энергетическим источником. А вот допустив, что источник (трава) имеют конечную (лимитирующую) константу прироста, мы сможем вычислить какая периодика и амплитудность колебаний наиболее выгодна для целей наибольшего среднего числа особей хищьник+жертва. Обязательно получится, что выгода в определенных колебаниях, а не нулевых или бесконечных. Математику я, правда, создать не смогу, может кто другой уже делал?

[Alexy]

Допустим, что для поддержания системы хищник жертва достаточно коэффициента соотношения 1/н. Вот вам и равновесие, надо только определить устойчиво ли оно

Я имел в виду РАВНОВЕСИЕ как постоянство во времени численностей хищника и жертвы (ане стабильные колебания с незменными во времени периодом и амплитудой)
Ведь именно это же, кажется, Вы имели в виду, поднимая вопрос про экол колеб

2)Экологическое автоКОЛЕБАНИЕ может ли возникнуть естественным образом, без вмешательства первотолчка? Если может, то какое условие для этого необходимо?

и Бертран, говоря

Любое небольшое отклонение от равновесия ПРИВЕДЁТ К КОЛЕБАНИЯМ

[Mr. B]

Алексей, не математика диктует природе, как ей вести себя. Математика только язык, на котором человек научился разговаривать с природой.

Вместе с тем, математика - это и мощный инструмент познания природы.

[василий андреевич]

Любое небольшое отклонение от равновесия приведёт к колебаниям

Бертран говорил о уже имеющимся в потенции маятнике, настроенном на параметры модели.
Я же говорю о чуть большем. Имеется источник среда, в которую приходят и хищник, и жертва. И вопрошаю, могут ли у них сложится отношения по схеме 1/н, или эти отношения обязаны быть подогнаны под маятник Лотки-Вольтерры. Скажу даже более, уверен, что в реализме, призвав только зайку на травку, мы через очень короткое время получим зайку "кусающего" травоядных, а потом быстро обучающегося отказаться от травы в пользу хищничества.
 Для того и говорил о колеблющейся тепловой машине под названием хищник-жертва, а не просто о маятнике. Для того и предлагаю рассматривать энергетику процесса колебаний, а не само колебание. Ведь можно всегда сказать, что солнышко так светит зимой и летом, что создаются не автоколебания, а вынужденные, подталкивающие маятник в нужное время в нужном месте. Отказавшись же рассматривать внешние колебания, сделав их возобновляемо константными (в реальности такого не бывает), мы сможем начать говорить о самоорганизации колебательного процесса, как эволюционно поддерживаемого.

пост скриптум. Обескураживает и чуть удивляет что не привлекает тема. Вдвоем, втроем, мы можем зациклиться.

Допишу. Да, математика мощна. но она именно инструмент описания, но не порождения явлений.

[Mr. B]

А может где-то выписаны условия, при которых в обычной модели хищник-жертва (Лотки-Вольтерры) колебания НЕ пойдут (т е условия равновесия), и условия, при  которых колебания в этой модели будут

Здесь снова есть зависимость от состояния, с которой начинается динамика. Равновесие в данной системе есть всегда (имеется ввиду, ненулевое и для хищника, и для жертвы). Если система точно попадает в равновесие (замечу, что ситуация сугубо теоретическая, поскольку очность требуется абсолютная), то она в нём будет пребывать вечно. Далее. Равновесие может быть: 1) устойчивым, 2) неустойчивым.

В первом случае устойчивость может быть асимптотической и неасимптотической. Первое означает, что отклонение от равновесия приведёт к затухающим колебаниям. А второе - что колебания затухать не будут: аплитуда колебаний будет строго постоянной.

Во втором случае может быть снова две ситуации. Первая - это обыкновенная неустойчивость: отклонение от равновесия увеличивается до тех пор, пока, в случае биологической модели, не погибнут хищники либо жертвы (а за ними и хищники). Вторая - это предельный цикл. Любое (но "не слишком большое") отклонение приведёт в конечном счёте к тому, что система будет колебаться вокруг положения равновесия с некоторой амплитудой, которая задаётся параметрами системы, а не начальных условий (как в случае неасимптотической или "нейтральной" устойчивости). Эти колебания называются предельным циклом.

[Alexy]

Равновесие в системе хищ-жер есть всегда (имеется ввиду, ненулевое и для хищника, и для жертвы). Если система точно попадает в равновесие (замечу, что ситуация сугубо теоретическая, поскольку очность требуется абсолютная), то она в нём будет пребывать вечно. Далее. Равновесие может быть: 1) устойчивым, 2) неустойчивым

В первом случае устойчивость может быть 1.1) асимптотической и 1.2) неасимптотической. Первое (1.1) означает, что отклонение от равновесия приведёт к затухающим колебаниям. А второе (1.2) - что колебания затухать не будут: аплитуда колебаний будет строго постоянной.

Во втором случае может быть снова две ситуации. Первая (2.1) - это обыкновенная неустойчивость: отклонение от равновесия увеличивается до тех пор, пока, в случае биологической модели, не погибнут хищники либо жертвы (а за ними и хищники). Вторая (2.2) - это предельный цикл. Любое (но "не слишком большое") отклонение приведёт в конечном счёте к тому, что система будет колебаться вокруг положения равновесия с некоторой амплитудой, которая задаётся параметрами системы, а не начальных условий (как в случае неасимптотической или "нейтральной" устойчивости). Эти колебания называются предельным циклом

Большое спасибо! А каковы условия асимптотической устойчивости модели хищ-жер?

[Mr. B]

В классическй модели имеет место нейтральная устойчивость. См. вторую (и, в меньшей мере, первую) иллюстрацию в этой статье в вики. Там изображён фазовый портрет, на котором видно, что система изменяется строго периодично: вся её динамика повторяет её динамику за период.

[Alexy]

Большое спасибо!

Так "нейтральная устойчивость" и означает, что "система изменяется строго периодично: вся её динамика повторяет её динамику за период"?

Чем же это тогда отличается от НЕасимптотической устойчивости?

[Alexy]

Динамика, описываемая уравнениями с запаздывающими параметрами, встречаются в математической физике и смежных дисциплинах реже, чем без них, и им посвящено куда меньше внимания в теории колебаний (хотя и в последнее время эти уравнения приобретают всё большую популярность)

А есть строгое определение, что такое запаздывающий параметр?