Математическая модель альтруизма

[Alexy]

первоначальную ветку, где это обсуждалось, то видели, что модель сначала предполагалась скорее натурной, чем программной. Физические шарики, физические дырки. Дырка с силой засасывает воздух, маленькие проскальзывают массово, большой - затыкает её

А что за ветка?

[Николай]

 Ветка "Доказательства эволюции".

http://www.paleo.ru/forum/index.php/topic,2742.90.html

Там несколько моих сообщений.

[Mr. B]

"Домучаю" дискретную детерминированную модель (черновой вариант).

Итак, выше была получена система уравнений

x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-\alpha*(x(t)+y(t)));
y(t+1)=y(t)(1+b-\alpha*(x(t)+y(t)))-1.

Рассмотрим вопрос о наличии положений равновесия данной системы. Для этого положим инвариантность фазовых переменных (неизвестных функций) относительно времени. Т.е., пусть

x(t)=x, y(t)=y,

которые уже не зависят от времени. Ввиду этой подстановки система разностных уравнений преобразуется в систему алгебраических уравнений, в которой требуется найти величины x, y. Это будет система

x*(a-x/(x+y)-\alpha*(x+y))=0;
y*(b-\alpha*(x+y))=1.

Отмечая наличие положения равновесия x=0 (без эгоистов система выживет, без альтруистов - нет), будем далее искать ненулевое равновесие данной системы. Придём к выражению

a-x/(x+y)-\alpha*(x+y)=0;
y*(b-\alpha*(x+y))=1.

Из уравнений следуют равенства

a(x+y)-x-\alpha=0; x=(ay-\alpha)/(1-a) (предполагая a отличным от единицы);
y*(b-\alpha*(y-\alpha)/(1-a))=1.

Откуда:

\alpha*y^2-(b(1-a)+\alpha^2)y+1-a=0

Дискриминант квадратного уравнения:

D=(b(1-a)+\alpha^2)^2-4(1-a)\alpha>>0,

когда \alpha>>1. Чтобы не погрязнуть в корнях квадратных, воспользуюсь аппроксимацией, согласно которой

sqrt(a^2+b)=a+b/(2a)+...

Таким образом,

sqrt(D)=b(1-a)+\alpha^2-2(1-a)\alpha/(b(1-a)+\alpha^2)+O( \alpha^(-2) )

Квадратное уравнение имеет 2 положительных решения, если предположить выполнение неравенства a<1, что вполне естественно, если временной шаг (дискретного времени) взять небольшим. При этом, меньшее из них очень близко к нулю. Оно равно:

y_1=(1-a)/(b(1-a)+\alpha^2)+O( \alpha^(-3) ).

В силу малости данное значение рассматриваться далее не будет. С другой стороны, квадратное уравнение всегда имеет другое решение:

y=y_2=(b(1-a)+\alpha^2)/(\alpha)-(1-a)/(b(1-a)+\alpha^2)+O( \alpha^(-3) )=(b(1-a)+\alpha^2)/(\alpha)+O( \alpha^(-2) ).

Отсюда

x=(ab(1-a)+(a-1)\alpha^2)/(\alpha*(1-a))<0 (всегда).

В общем, пока приплыли. Нет времени искать ошибки, но тем не менее сохраню здесь, вдруг кто-то их найдёт за меня . Почему там оказалось меньше нуля - мне не совсем ясно. Вроде бы, не особо я там напренебрегал. Но, кто его знает.

Вот если бы реализовать аналитически стохастическую модель, а потом ещё проиллюстрировать посредством численных методов все возникающие аттракторы (проанализировав непрерывные и дискретные модели в детерминированном и стохастическом случаях с предоставлением биологической интерпретации предположений и результатов) - вот бы статья могучая вышла (по мат. биологии), страниц на 30-40 (а то и все 50)! Но пока до этого далеко.

В общем, продолжение следует.

[Aleksey_K]

Что-то Вы всего намешали в какую-то абракадабру - куча умных слов формул, а здравого смысла во все этой мешанине я лично  никакого не вижу. Разбирать каждую формулу неохота, навскидку - дифференциальную мат. модель можно строить только после трансформации дискретной модели предложенной Николаем в непрерывную.

Попробуйте начать с малого, найдите хотя бы как будет меняться численность шариков одного вида, например эгоистов, если альтруистов совсем нет и дырок тоже нет, для дискретной модели. Т.е. сколько их будет в таком случае после n циклов размножения на размножалках, если в нулевой момент времени их было C0, а коэффициент размножения K?

[Mr. B]

Что-то Вы всего намешали в какую-то абракадабру - куча умных слов формул, а здравого смысла во все этой мешанине я лично  никакого не вижу. Разбирать каждую формулу неохота, навскидку - дифференциальную мат. модель можно строить только после трансформации дискретной модели предложенной Николаем в непрерывную.

В формулах суть. В них было вложено то, что Николай описал словами. Единственное - это сделано не очень точно и довольно поспешно. Как уже говорилось выше - стохастическая модель была бы здесь наиболее адекватной. Но и с детерминированными тоже, вроде, не всё так плохо.

Попробуйте начать с малого, найдите хотя бы как будет меняться численность шариков одного вида, например эгоистов, если альтруистов совсем нет и дырок тоже нет, для дискретной модели. Т.е. сколько их будет в таком случае после n циклов размножения на размножалках, если в нулевой момент времени их было C0, а коэффициент размножения K?

Эгоисты умрут на первом же шаге, согласно предположениям, если будут одни. Равновесие альтруистов в отсутствии эгоистов - находится проще простого, нужно положить x=0 в уравнения (хоть дискретной, хоть непрерывной модели) - и решить полученное квадратное уравнение.

[Aleksey_K]

Попробуйте начать с малого, найдите хотя бы как будет меняться численность шариков одного вида, например эгоистов, если альтруистов совсем нет и дырок тоже нет, для дискретной модели. Т.е. сколько их будет в таком случае после n циклов размножения на "размножалках", если в нулевой момент времени их было C0, а коэффициент размножения K?

Эгоисты умрут на первом же шаге, согласно предположениям, если будут одни.

Как же они "умрут на первом же шаге", если я написал что "дырок тоже нет". Сколько их(эгоистов) в таком предельно простейшем случае будет после n циклов размножения?

Равновесие альтруистов в отсутствии эгоистов - находится проще простого, нужно положить x=0 в уравнения (хоть дискретной, хоть непрерывной модели) - и решить полученное квадратное уравнение.

А чему тогда в отсутствии эгоистов будет равно альфа? Тоже нулю?

[Mr. B]

Как же они "умрут на первом же шаге", если я написал что "дырок тоже нет". Сколько их(эгоистов) в таком предельно простейшем случае будет после n циклов размножения

Не припомню, чтобы Вы оговаривали где-то, что дырки нужно убрать. Но если хотите убрать - убирайте (что означает каждое слагаемое - я отмечал при их записывании). Потом нужно будет положить y=0, а затем - найти равновесие (алгебраическое уравнение степени не выше второй).

А чему тогда в отсутствии эгоистов будет равно альфа? Тоже нулю?

Альфа больше нуля - постоянный параметр системы. Если эгоистов не будет, он ни на что не будет влиять.

[Aleksey_K]

Не припомню, чтобы Вы оговаривали где-то, что дырки нужно убрать.

Перечитайте внимательно место где Вы меня цитировали постом выше.

Но если хотите убрать - убирайте (что означает каждое слагаемое - я отмечал при их записывании). Потом нужно будет положить y=0, а затем - найти равновесие (алгебраическое уравнение степени не выше второй).

Хорошо вот Ваше уравнение описывающее численность эгоистов в следующий момент времени относительно предыдущего:
x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-\alpha*(x(t)+y(t))); 
y(t)=0 => k(t)=x(t)/(x(t)+y(t))=1  следовательно
x(t+1)=x(t)(a-\alpha*(x(t))   Допустим  а=2  т.е. каждый шарик на
"размножалке" удваивается тo есть  x(t+1)=2*x(t) Такой результат получится из Вашего уравнения только при  \alpha=0

Альфа больше нуля - постоянный параметр системы. Если эгоистов не будет, он ни на что не будет влиять.

Так все-таки \alpha=0 или больше нуля? И какой будет численность
эгоистов после n циклов размножения В ОТСУТСТВИИ ДЫРОК и
альтруистов? В нулевой момент их численность была допустим C0.

[Mr. B]

Пардон. Не альфа, а а. Оба параметры малы, но положительны.

Мешают дырки - убирайте и смотрите, что будет. Моя роль тут уже, скорее, консультанта. Да и то: квадратные уравнения решать умеют, вроде, все.

a=2 лучше не полагать: слишком много. Если временной шаг мал, то малым будет и коэффициент прироста. А шаг нужно брать малым, поскольку реальное время, всё же, непрерывно. При большом шаге мы можем получить побочные эффекты, которые могут отдалить от понимания действительных процессов, поскольку делают модель очень грубой. Можно потерять (и, как показывает практика, это зачастую и случается) массу аттракторов. А их как раз и требуется всех отыскать.

По поводу непрерывной модели - как уже говорилось - её недостатком является возможность размножения эгоистов без альтруистов. Там оговорено, что параметр a должен быть малым, иначе модель приобретает не совсем желательные свойства: там оказывается возможной r-стратегия.

По поводу "размножалок" - их в прямом виде в модели нет. Они были заменены непрерывным или, соответственно, дискретным регенеративным процессом. Если их реализовать в прямом виде, то можно получить уравнения с запаздыванием. Исследование последних вообще может затянутся на кто-знает сколько. А стохастической теории таких уравнений, кажется, даже и в природе не существует. Так что слишком глубоко лучше не зарываться: можно никогда и не разгребтись.

[Aleksey_K]

Вот картинка  предложенная Николаем, на ней есть линии где шарики
размножают и участки где они движутся не меняя численности
(в отсутствии дырок). Для предельного упрощения задачи я предложил
Вам исследовать вариант как будет менятся численность эгоистов
когда дырок нет и альтруистов тоже нет, после того как шарики n раз пройдут линии размножения. Это задача для среднего уровня школьника, не очень старших классов и решается она в одну-две строчки, а Вы в ответ мне про сложности решений стохастических уравнений.   

[Mr. B]

Ну, конечно. Если Вы всё поубираете. И альтруистов, и дырки, и внутривидовую конкуренцию и стохастику. То ясно, что там останется сама лишь геометрическая прогрессия. Здесь, по-моему, и говорить не о чем.

[Aleksey_K]

Ну, конечно. Если Вы всё поубираете. И альтруистов, и дырки, и внутривидовую конкуренцию и стохастику. То ясно, что там останется сама лишь геометрическая прогрессия. Здесь, по-моему, и говорить не о чем.

Ну если все-же написать формулу этой самой геометрическо прогрессии
и потом немного подумать как туда можно ввести и дырки и альтруистов
и внутривидовую конкуренцию, то по крайней мере на дискретной модели
показать эффекты эквивалентные альтруизму в биологии можно.
А уж затем, после того как все будет понятно на дискретной модели,
пытаться перейти к дифференциальной форме. 

[Mr. B]

Вот примерно этим я и хотел заняться. Поварьировать параметры, установить параметрические области, гарантирующие наличие нетривиальных допустимых устойчивых равновесий и т.п.

Но это всё, видимо, потом. Хотя, в целом, соглашусь в одном: дискретная детерминированная модель - это то, что может быть построено посредством численных методов даже школьником. Там ведь только рекуррентная зависимость. Но анализ этой модели будет не полным, если ограничится этим методом. Хотя и, конечно, будет весьма поучительным для самого школьника.

[Mr. B]

Решил я вернуться к этой старой теме, ограничиваясь пока что численным моделированием непрерывного случая с внутрипопуляционной конкуренцией. Т.е., была рассмотрена система:

(d/dt)x=(a-k)x-\alpha*xy;
(d/dt)y=by-1-\alpha*xy.

В целом, как и ожидалось, практически для всех начальных условий x0, y0, параметров a, b и параметра внутривидовой конкуренции \alpha существует ненулевое устойчивое равновесие. Иллюстрацию процесса можно увидеть на рисунке снизу. Также предлагается программа, в которой каждый желающий может убедится в том, что альтруисты (они зелёные) вымирают далеко не всегда.

В программе и в модели в целом, подчёркиваю, предполагается ситуация совершенно критическая для эгоистов. Это связано с тем, что сколько эгоистов в дырку не падает, они её не заткнут. Т.е., падают все, кроме тех, кто родился. Поэтому когда там вымирают альтруисты, то вымирают и эгоисты. А альтруисты вымирают там лишь только в том случае, если их оказывается достаточно мало (например, настолько, что прирост их популяции меньший, чем необходимо для устранения "дырок", появляющихся через каждый временной интервал единичной длинны).

Бросающимся в глаза также является отсутствие осциляций, в отличие от системы Лоттки-Вольтерра.

Перемещение и масштаб картинки программы регулируются перемещением соответственно левой и правой кнопки мыши по рисунку программы.

[V.V.P]

Если я правильно понял, шарики имеют только два размера: большой и маленький. Но поскольку наборы шариков представляют собой наборы генов: альтруистических и эгоситических, а ген гену, вообще говоря, рознь, то встает вопрос: на самом ли деле модель адекватно описывается только шариками двух разных размеров? Не следует ли вводить для функций x(t) и y(t) коэффициенты размера, например, массу шариков? Тогда, соответственно, и распределение масс шариков может повлиять на их скорости. Вообще, в этой модели, по-моему, было бы неплохо рассмотреть причину, которая заставляет шарики двигаться. Такой причиной может выступать сила естественного отбора, выражающаяся, например, в следующем: возникающая дырка искривляет пространство движений шариков, заставляя некоторые из них в эту дырку скатываться. Но тогда в модели возникнут уже вторые производные: d²x/dt² и d²y/dt².
******
Кстати, вопрос генетикам. Могут ли гены влиять друг на друга? Если да, тогда наши производные уже станут, по-видимому, частными, так как придется учитывать уже не только время, но и величины влияния.