Математическая модель альтруизма

Автор Mr. B, марта 11, 2010, 15:33:20

« назад - далее »

Mr. B

В одной теме была предложена модель:

Цитата: Николай от февраля 19, 2010, 16:43:45
Я тут придумал интересную (на мой взгляд) аналогию с шариками.

Представьте себе беговую дорожку по которой катятся очень лёгкие шарики. Если шарик добегает до финиша, он раздваивается и попадает на следующую беговую дорожку.  Шарики двух размеров - чуть побольше и чуть поменьше. Маленькие шарики катятся быстрее больших, и скорость их "размножения" значительно выше. Среди дорожек попадаются дырки, размером чуть меньше большого шарика. Эта дырки с силой засасывают воздух. Миновать такую не может ни большой, ни маленький шарик.
А теперь, что происходит. :) 
Если все шарики - маленькие, первая же дырка всех засосёт. Если попадается большой шарик, дырка его притягивает к себе, но он её затыкает, давая возможность проскочить и большим, и маленьким шарикам. Маленькие шарики размножаются быстрее, их процент стремительно растёт. Но когда их становится слишком много, и они бегут большим потоком, опережая большие, первая попавшаяся дырка резко эту ситуацию исправляет. Она засасывает всех маленьких, до появления первого большого. Таким образом устанавливается некий баланс, между количеством тех и других шариков. Если большой шарик всего один, а на дорожке дырка - он, естественно, не добегает и не раздваивается. И это плохо. Если большой шарик неожиданно появился на свободной от дырок дорожке, то на следующей их уже будет два, и даже при наличии там дырки, один из них её минует. Если "неопасных" дорожек попалось много подряд, то большие шарики хорошо размножатся, но маленькие размножатся ещё больше, в несколько раз больше. Однако, первая попавшаяся дырка исправит ситуацию на обратную: больших шариков станет сразу больше, потому что маленькие катятся быстрее и наткнутся на дырку раньше.

И шарики - неразумны. Они просто разного размера. Они просто катятся по дорожке. Шарики - это скорее иллюстрация генов, нежели особей. Большой шарик, как нетрудно догадаться, иллюстрирует "альтруистические" гены. И, как нетрудно догадаться, "альтруистические" гены вовсе не сокращают своим поведением своё общее количество. (если, конечно, дырок не слишком много. :) Но это уже глобальный катаклизм, там не выживет никто). Дырки - естественный отбор.

Кстати, программисты могут эту иллюстрацию реализовать на компьютере. :) Если будет желание, конечно.
Цитата: Imperor от февраля 19, 2010, 17:06:10
...в геноме присутствует некий ген, который включает механизм самоуничтожения, но включается он только в том случае, если идет соответствующий биохимический сигнал, указывающий на какое-то бедствие. А сигнал этот включается по краям колонии.
Цитата: Николай от февраля 19, 2010, 17:19:50
Вот картинка. Только я изобразил "бег по кругу" ,а не последовательность дорожек.  И комментарий: дырка может появляться неожиданно и в произвольном месте. Большой шарик, уничтожая дырку, погибает сам.
http://www.paleo.ru/forum/index.php?action=dlattach;topic=2742.0;attach=12425
Остаётся неясным один момент, а именно с чего бы имело место следующее
Цитата: Imperor от февраля 19, 2010, 17:23:49
В Вашей "модели шариков" существование большого числа "маленьких" шариков не препятствует существованию (и делению) больших шариков (а должно препятствовать).
если особи из разных классов практически ничем не отличаются, кроме одного гена? Но если данный момент будет разъяснён, его можно будет включить в модель.

Итак, построение математической модели (я всё же осмелюсь сделать кое-какие наброски).

Пусть x(t) - количество маленьких шариков, y(t) - количество больших шариков. Положим a,b>0 - коэффициенты размножения маленьких и больших шариков соответственно. При чём будем пока полагать, что a=b (поэтому везде далее вместо b будет употребляться параметр a). Положим, что отбор действует следующим (непрерывным) образом (т.е., речь о "скорости"):

1) он постоянно уменьшает количество особей y(t) на постоянное число, которое, положим, равно 1;
2) он уменьшает количество особей x(t) ровно на столько, сколько в среднем успевает погибнуть особей при данной концентрации x(t) во всей популяции, пока особь y(t) погибает одна (пример: если особей y(t) было только две, то в среднем успеет погибнуть половина особей x(t), пока из первой популяции погибнет только одна); т.е., число жертв равно произведению количества x(t) на концентрацию k(t)=x(t)/(x(t)+y(t)), итого: x(t)k(t).

Отсюда следуют уравнения (внутривидовой конкуренцией за поиск корма было сделано пренебрежение; пусть корма хватает):

(d/dt)x=(a-k)x;
(d/dt)y=ay-1.

Здесь требуется оценить параметр k(t), или, лучше, l(t)=1-k(t) - концентрацию y(t) во всей популяции.

Анализ

Проще всего это сделать следующим образом. Будем искать стационарные решения данной системы. Для этого положим производные нулём и рассмотрим алгебраические уравнения:

(a-k)x=0;
ay-1=0.

Отсюда:

y=1/a;
x=0 (не рассматриваем); x=1/(1-a).

откуда k=a; l=1-a (если данная величина положительна).

Добавлю только, что если там где-то оказываются отрицательные величины, то из этого следует, что модель не имеет положительных стационарных решений.

Откровенно говоря, я и сам не совсем ожидал получить такие результаты. Они, прежде всего, продиктованы неудовлетворительностью непрерывной модели, в связи с чем я лучше подумаю о дискретной. Однако тот факт, что совершенно необязательно l=0 уже заставляет кое о чём задуматься.

Меня могут упрекнуть, что, мол, устойчивость данных стационарных концентраций не доказана. Этим я заняться не удосужился, поскольку нужна новая модель.

Критика

Критика представлена примерно следующим высказыванием:

Цитата: DNAoidea от февраля 26, 2010, 17:32:33
Однако отбор в общем случае (кроме летальных или "очень вредных" мутаций конечно, иначе организму хана) куда медленнее мутагенеза, было бы иначе - не накапливались бы нейтральные замены, не было бы генетического дрейфа и т. д.
Однако - так или иначе - ген не может быть сам по себе практически неизменным участком ДНК - поддерживает его в стабильном (информационно) состоянии только отбор.

На это придется скрепя душой ответить, что отбор по всему остальному, видимо, не будет иметь в данной модели однонаправленной роли и, следовательно, ним будет позволительно пренебречь.

Недостатки построенной модели:

1. Возможность преодоления отбора элементами x лишь только использованием r-стратегии (т.е., большое а гарантирует увеличение численности x при произвольных прочих иных обстоятельствах).
2. Исходные предположения модели требуют уточнения.

Жду предложений по поводу улучшения модели с учётом того, что она уже будет дискретной (от случайных величин предлагаю пока воздержаться).

Также приветствуется критика биологической целесообразности модели и верности сделанных пренебрежений.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Николай

Цитироватьесли особи из разных классов практически ничем не отличаются, кроме одного гена? Но если данный момент будет разъяснён, его можно будет включить в модель.

Я в соответствующей ветке уже объяснял, как это можно включить в модель: ограничить количество размножений в единицу времени.  Когда маленьких шариков становится слишком много, они чаще бомбят размножалки (за счёт количества и большей подвижности) и тем самым не оставляют шансов на размножение "альтруистам". Фактически у "альтруистов" пик размножения приходится на короткий промежуток времени после появления и смерти "дырки.
Человек не произошёл от обезьяны. Он ей так и остался.

Mr. B

Цитата: Николай от марта 11, 2010, 18:47:05
Я в соответствующей ветке уже объяснял, как это можно включить в модель: ограничить количество размножений в единицу времени.  Когда маленьких шариков становится слишком много, они чаще бомбят размножалки (за счёт количества и большей подвижности) и тем самым не оставляют шансов на размножение "альтруистам". Фактически у "альтруистов" пик размножения приходится на короткий промежуток времени после появления и смерти "дырки.
Но ген альтруизма же будет сохранён в половине случаев спаривания с эгоистами! Гибридное потомство будет на 50% состоять из тех и из тех. Ведь, насколько я понял, альтруизм альтруистов не в чём более не проявляется, кроме как в поведении в одной ситуации. Ведь в остальном это те же особи, в том числе и в размножении.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Mr. B

Ещё один момент. Если у кого есть книги по математической генетике, то буду благодарен за их предоставление прямо в этой теме.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Николай

Цитата: Bertran от марта 11, 2010, 20:26:06
Но ген альтруизма же будет сохранён в половине случаев спаривания с эгоистами! Гибридное потомство будет на 50% состоять из тех и из тех. Ведь, насколько я понял, альтруизм альтруистов не в чём более не проявляется, кроме как в поведении в одной ситуации. Ведь в остальном это те же особи, в том числе и в размножении.

Нет, не так. Если Вы ещё не читали, то почитайте вот это:

http://www.evolbiol.ru/altruism.htm

Фишка в том, что "эгоисты" должны получать серьёзную выгоду от паразитирования на колонии. И, получая эту выгоду, активнее размножаться. Гораздо активнее, чем "альтруисты". (В сущности, репродуктивное преимущество - это единственная реальная выгода в живом мире. И единственное мерило выживания.)

Сходите по ссылке, я рисовал модель, думая о бактериях из этой статьи.
Человек не произошёл от обезьяны. Он ей так и остался.

Mr. B

"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Mr. B

#6
Итак, по новой.

Модель с дискретным временем.

Я ограничусь пока только составлением модели. Решение отложим пока в долгий ящик, тем более, что её всё равно требуется ещё обсудить.

Итак, сохраняя обозначения непрерывной модели, введу следующие предположения:

1) В следующий момент времени количество "маленьких шариков" (эгоистических особей) станет равно:

x+ax-kx-\alpha*x*(x+y),

где a>0 - коэффициет размножения, k=x/(x+y) - концентрация эгоистических особей, -/alpha*x*(x+y) - слагаемое, отвечающее за внутривидовую борьбу за корм. Последнее слагаемое - традиционно в подобных моделях; оно ограничивает рост популяции до некоего конечного значения.

2) В следующий момент времени количество "больших шариков" (альтруистических особей) станет равно:

y+by-1-\alpha*y*(x+y),

где b>0, b<a - коэффициент размножения, "-1" - "прирост" особей в следствие уничтожения дырки, -\alpha*y*(x+y) - борьба за корм.

Итак, получится система (разностных) уравнений:

x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-/alpha*(x(t)+y(t)));
y(t+1)=y(t)(1+b-/alpha*(x(t)+y(t)))-1.

Конечно, уравнения - не подарочек, но мне и не с такими приходилось встречаться.  :D

Остаётся один момент: как же соотносятся а и b?

Николай, последний вопрос не в последнюю очередь к Вам. Так что прошу меня поправить, если я что-то предположу не так, как следует.

Пусть (как и раньше) l(t)=1-k(t). Предположим, что интенсивность размножения альтруистов пропорциональна их концентрации, а в идеальном случае равна тому же постоянному параметру а. Иными словами, пусть b=al. В связи с этим уравнения примут вид:


x(t+1)=x(t)(1+a-k(t)-\alpha*(x(t)+y(t)));
y(t+1)=y(t)(1+a*l(t)-\alpha*(x(t)+y(t)))-1.

Так пойдёт?
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Николай

 Видите ли, Бертран, я - не математик. И хотя со школьным курсом у меня было всё ок, я многое подзабыл, и мне сейчас придётся вникать в те формулы, что Вы предложили. :) Поэтому я сейчас буду задавать идиотские вопросы. :)

1. Что означает параметр alpha? Какие значения он принимает?
2. Что означает сочетание знаков -/?
3. t - это время, не так ли? А обозначения x(t), y(t) и т.п. означают некие параметры в соответствующий момент времени?
----------------------
В общем и целом.
Я больше думал о программном коде, в котором жёстко заданы только параметры размножалки. Все остальные имеют вероятностный характер и случайным образом  меняются (хотя и в некоторых, достаточно жёстких пределах). Траектории полёта шариков - случайные изменения радиусов окружностей в пределах "беговой дорожки". Скорость чуть-чуть "гуляет".  А дырка появляется в случайном месте с некоей частотой.
В математических формулах есть жёсткая детерминированность, которой я не предполагал. Например, у Вас есть чёткая математическая зависимость между концентрацией "альтруистов" и тем, сколько погибнет "эгоистов" с появлением дырки. Но, если дырка появляется в случайном месте, она может теоретически возникнуть прямо под "альтруистом" или у него перед носом. Тогда "эгоистов" может выжить гораздо больше, чем предполагается по Вашим формулам.  Т.е. изначально мне хотелось иметь в модели элемент вероятности и статистики. И мне, конечно, как художнику понятнее образы, чем формулы. :)
Человек не произошёл от обезьяны. Он ей так и остался.

Дж. Тайсаев

Модель у Николая очень показательная и её действительно лучше реализовывать в качестве имитационной модели, причём это совсем несложно.
Шматина глины не знатней орангутанга (Алексей Толстой).

Mr. B

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15
Поэтому я сейчас буду задавать идиотские вопросы. :)

1. Что означает параметр alpha? Какие значения он принимает?
2. Что означает сочетание знаков -/?
3. t - это время, не так ли? А обозначения x(t), y(t) и т.п. означают некие параметры в соответствующий момент времени?
Вопросы - это хорошо. Значит, кому-то что-то интересно. Ответы:
1);2) \alpha - это "альфа", некоторая константа, "буква". Черта поставлена для того, чтобы отличать от простого набора букв и в следствие того, что так потребляется в текстовом редакторе Latex. "-" - естественно минус. Этот параметр является позитивным и его удобно брать маленьким, чтобы стабилизация количества особей произошла не на уровне 1-2 особи, а поболее. Учитывая малость, я его решил обозначить греческой буквой (как это довольно общепринято в математической литературе по качественной теории ДУ).
3) t - время, в остальном - также утвердительные ответы.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15
Я больше думал о программном коде, в котором жёстко заданы только параметры размножалки.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15Все остальные имеют вероятностный характер и случайным образом меняются (хотя и в некоторых, достаточно жёстких пределах).
Написание стохастических уравнений может привести к существенному расширению применяемого математического аппарата. Я подумаю над этим.
Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15В математических формулах есть жёсткая детерминированность, которой я не предполагал. Например, у Вас есть чёткая математическая зависимость между концентрацией "альтруистов" и тем, сколько погибнет "эгоистов" с появлением дырки.
Я там "усреднил" ситуацию, взяв, так сказать, математическое ожидание.

Цитата: Николай от марта 14, 2010, 08:29:15Тогда "эгоистов" может выжить гораздо больше, чем предполагается по Вашим формулам.
Возможно. Но, мне кажется, эта поправка не влияет качественно на картину. Хотя, с другой стороны, если сначала отнять 20%, а потом 40%, то это будет в известной мере меньше, нежели оба раза отнимать по 30%.

В общем, беру опять паузу на обдумывание математической модели. Если возникнут идеи - рад буду выслушать (это я обращаюсь ко всем).
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Mr. B

Цитата: Дж. Тайсаев от марта 14, 2010, 10:31:43
Модель у Николая очень показательная и её действительно лучше реализовывать в качестве имитационной модели, причём это совсем несложно.
Строго говоря, ответ, полученный при помощи компьютера таким способом, будет нестрогим. Я бы хотел не покидать пределы точных и строгих методов.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

pihto

Идея с шариками - класс. Очень интереная версия. И как Вам такое в голову пришло. Интересно только, что это за "дырки". Надо какого-нибудь программера попросить сделать это в 3Д. Классная будет заставка.
Идея кстати близка к идее вечного двигателя, Вам не кажется?
Ух, я все это образно представил... Интересно, сложно сконструировать подобную модель?

Mr. B

Дырки - это отбор. Как шарики, так и дырки - идеализация реальной сиуации. Это модель. В общем, об этом уже сказано выше.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.

Николай

Цитата: pihto от апреля 04, 2010, 07:56:07
Идея с шариками - класс. Очень интереная версия. И как Вам такое в голову пришло. Интересно только, что это за "дырки". Надо какого-нибудь программера попросить сделать это в 3Д. Классная будет заставка.
Идея кстати близка к идее вечного двигателя, Вам не кажется?
Ух, я все это образно представил... Интересно, сложно сконструировать подобную модель?

Я пытался программиста упросить на работе, но так и не смог. :) Всё таки люди предпочитают отдыхать в свободное время.
------

Кстати, если Вы читали первоначальную ветку, где это обсуждалось, то видели, что модель сначала предполагалась скорее натурной, чем программной. Физические шарики, физические дырки. Дырка с силой засасывает воздух, маленькие проскальзывают массово, большой - затыкает её.
Человек не произошёл от обезьяны. Он ей так и остался.

Mr. B

#14
В общем, ввиду большого объёма математического аппарата и предполагаемых выкладок, стохастическую модель построю не ранее, чем данной ситуацией заинтересуется моё начальство.

Но, в целом, считаю, что детерминированная модель не так и плоха: это как-никак реализация некоторой средней ситуации, что вполне удовлетворительно для ряда практических задач, которые можно ставить применительно к данной модели.
"Из опыта совершенно очевидно, что наименьшее зерно природной честности и доброжелательности оказывает большее влияние на поведение людей, чем самые напыщенные взгляды, предлагаемые теологическими теориями и системами." — Д. Юм.