Проблема демаркации

[talash]

Немного копнул на тему противостояния Гильберта и Пуанкаре:

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт сформулировал знаменитый список двадцати трёх нерешённых проблем, послуживший направляющим указателем приложения усилий математиков на протяжении всего XX века. Полемизируя с Пуанкаре и другими интуиционистами, Гильберт также кратко обозначил свою научную философию. Он заявил, что любой непротиворечивый математический объект имеет право считаться существующим, даже если у него нет ни связи с реальными объектами, ни интуитивного обоснования (особо жаркие споры в тот период вызывали революционные конструкции теории множеств). Он выразил уверенность, что любая математическая проблема может быть решена, и предложил приступить к аксиоматизации физики[10].

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82,_%D0%94%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B4

Так ведь не проблема придумать что-то непротиворечивое. Например, один российский математик придумал "гроссуан" - символ, заменяющий бесконечность. А один японский математик по мнению своих подчинённых доказал abc-гипотезу. Правда доказал он это в рамках "собственного инструментария", который столь объёмен, что более никто не захотел в нём разбираться. Может его инструментарий и непротиворечив, неизвестно.

Как я думаю, очевидно, что эти два примера из множества, следствие подхода Гильберта. Дорвавшись до власти, чиновники от математики начинают изобретать непротиворечивое и пиарить его при помощи админресурса.

В отличие от естественных наук, где алгоритм демаркации может опираться на практику, с математикой сложнее. Здесь мы не можем выдвинуть требование разработки гипотезы с последующей практической проверкой.

Как отделять научное от ненаучного в математике?

[Ivan(novice)]

Как отделять научное от ненаучного в математике?

Интересный вопрос...
Сама по себе математика, как и логика, - инструмент для естественных наук. Вне естественных наук математика, как сферический конь в вакууме, едва ли может быть проверена на практике.
Поэтому, наверное, можно считать научным такой математический аппарат, который успешно используется в естественных науках для поиска закономерностей или для формализации найденных закономерностей.

[Лаплас]

Как отделять научное от ненаучного в математике?

В математике нет «научного» и «не научного». Нравятся математику какой-нибудь набор аксиом, получается из него что-то, по его мнению, содержательное и достаточно. И если другие математики его поддержат, направление начнёт развиваться и, может быть, получит какое-нибудь прикладное значение в том числе.

«В итоге, как можно заметить, аксиомы математики находят своё отражение в реальном мире, хотя никаким «законам природы» аксиомы соответствовать не обязаны и принимаются лишь на основании желания математика. Тем не менее в определении содержательности суждений математического языка математик естественным образом исходит из отношений известной ему природы. В результате в столкновении идей личное и несущественное со временем отбрасывается, оставляя в сухом остатке идеализированное отражение реального мира, а не бессмысленные фантазии. В то же время всегда исходя из известного, а значит, неполного и неточного, математика и сама не полна, а её непротиворечивость неизвестна, поэтому в познании природы математическая теория может служить ориентиром, но не доказательством.»

[talash]

Интересный вопрос...
Сама по себе математика, как и логика, - инструмент для естественных наук. Вне естественных наук математика, как сферический конь в вакууме, едва ли может быть проверена на практике.
Поэтому, наверное, можно считать научным такой математический аппарат, который успешно используется в естественных науках для поиска закономерностей или для формализации найденных закономерностей.

Да, это объективный процесс. Всё что не будет востребовано на практике рано или поздно отомрёт, но в некоторых случаях это может занять века.  Как ускорить процесс?

Например, та же теорема Гёделя о неполноте. Почему я на неё обратил внимание, расскажу ход мыслей. В Пуанкаре я уверен - это был великий исследователь. Далее, я считаю, что исследователи всегда могут устранить разногласия, углубляясь в суть проблемы. Если Пуанкаре и Гильберт не смогли устранить разногласия, значит Гильберт это борец. Борец-лидер строит вокруг себя иерархию из других борцов. В предыдущем посте я цитировал философию Гильберта, что любой непротиворечивый математический объект имеет право на существование. Эта философия выгодна борцам, потому что, что бы они не придумали, они могут распиарить это через свою иерархию и дружеские борцовские иерархии. Таким образом они имитируют исследовательскую деятельность и достигают свою реальную цель: усиление власти в научной отрасли и контроль ресурсных потоков, выделямых государствами.

Так вот про теорему Гёделя. Немного углубился об чём там. Смотри, Иван, цитата из Вики:

Формальная теория считается определенной, если[2]:

Задано конечное или счётное множество произвольных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями теории.
Имеется подмножество выражений, называемых формулами.
Выделено подмножество формул, называемых аксиомами.
Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода.

Теорема Гёделя работает в рамках формальных теорий. А формальные теории определены через множества. А сами по себе множества изначально противоречивый инструмент. Пуанкаре, великий математик универсал, его вовсе не использовал. В общем выглядит всё так, как с доказательством abc гипотезы японским математиком. На ровном месте наплодили инструментов, которые никому, кроме участников, не нужны. А участникам они нужны для имитации научной деятельности.

Это всё ИМХО, причём без глубокого вхождения в тему. Но если это ИМХО в целом верно, то это пространные дедуктивные рассуждения, которые вряд ли можно свести к простым принципам, чтобы использовать их в целях демаркации.

[talash]

В математике нет «научного» и «не научного». Нравятся математику какой-нибудь набор аксиом, получается из него что-то, по его мнению, содержательное и достаточно. И если другие математики его поддержат, направление начнёт развиваться и, может быть, получит какое-нибудь прикладное значение в том числе.

Это похоже на процитированную выше "философию Гильберта". Проблема в том, что другие математики могут быть заинтересованы в поддержке. В результате, вместо стоящих тем, будут пытаться развивать всякую ерунду.

[Ivan(novice)]

Как ускорить процесс?

Не знаю, надо подумать...

В предыдущем посте я цитировал философию Гильберта, что любой непротиворечивый математический объект имеет право на существование.

Вот! Философия.
Недавно примерно по такому же поводу у меня было непонимание с Павлом Арефьевым:

Иван, сколько можно повторять, не в рамках науки, а в рамках философии? Моя концепция философская, которая только задаёт рамки для научных концепций, не более того.

Тогда все понятно. За рамками науки можно фантазировать сколько угодно.

Если не смешивать философию и естественные науки, то на философию Гильберта можно не обращать внимания. Т.е. он может сколько угодно философствовать, только за пределами естественных наук.

Теорема Гёделя работает в рамках формальных теорий. А формальные теории определены через множества. А сами по себе множества изначально противоречивый инструмент.

Там немного не так. Множества - противоречивый инструмент, если  используются несчетные, бесконечные или рекурсивные множества. Об этом парадокс Рассела:

Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом[2].

Т.е. когда во множествах возникает рекурсия или бесконечность, они превращаются в противоречивый инструмент. Но, как и всякий инструмент, для множеств есть границы применения. Если мы говорим о нерекурсивном множестве, содержащем счетное число элементов, то это обычный набор элементов или одномерный массив, которые вполне можно применять на практике.

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.

С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают.
Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество.

По теореме Геделя... Как-то у нас была беседа на этом форуме по поводу применимости теоремы Геделя на практике. Вкратце, суть была в следующем:
1) Утверждалось, что т.Геделя не применима на практике:

В качестве доказательства теоремы Гёделя обычно приводится формальный алгоритм, который позволяет построить в данной системе аксиом недоказуемую теорему. Если вы попытаетесь применить этот алгоритм к любой практически значимой аксиоматической системе (например, к евклидовой геометрии или арифметике), то вы получите некую ахинею, которая формально соответствует условию теоремы, но никакого практического значения не имеет. Полагаю, вы знакомы с подобного рода теоремами на примере логических парадоксов.

2) В качестве доказательства применимости т.Геделя на практике предлагалось с помощью нее доказать неполноту реальной математики:

Понятно, что в оригинальной системе аксиом, прописанной Евклидом в «Началах» есть множество практически важных недоказуемых теорем. Но когда вы дополните эту систему до определённой степени полноты (до той же системы Гильберта), вы упрётесь в ситуацию, что теорема Гёделя вроде бы работает, но недоказуемые теоремки совсем уж какие-то издевательские, к реальности отношения не имеющие.

3) Что и было сделано:

Можно рассмотреть на примере аксиоматики Гильберта, принципиальной разницы нет, хотя аксиомы Евклида и Гильберта все таки не одно и то же. Гильберт разработал свою систему аксиом в полном соответствии со следствиям из теоремы Геделя, которое предполагает необходимость бесконечного расширения/дополнения аксиоматики формальной системы для   описания объектов реального мира. Всегда можно найти (если поискать) некоторые утверждения в формальной системе, не входящие в число аксиом, а принимаемые просто по умолчанию.

Касательно Гильберта. Напомним некоторые определения и аксиомы:
1. Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то мы запишем так: А — В — С. Одна из аксиом Гильберта:
Если А — В — С, то А, В, С — различные точки одной прямой и С — В — А.
2. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
3. Предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго множества — прямыми, а элементы третьего множества — плоскостями.

Дано:
Точки A,B,C; прямая a.
Точки A,B,C принадлежат прямой a. Прямая a перпендикулярна плоскости читаемого сейчас текста, т.е. выглядит в виде точки (.) .
Для формального описания прямой a используется отношение "лежать между".

Предлагается доказать, что формальные описание прямой a :
А — В — С ;
B — A — С ;
А — C — B 
эквивалентны.

..... (здесь идет дискуссия, доказательства) ....

Приходим к выводу, что для доказательства данной теоремы прямая a не может принадлежать к множеству точек и к множеству прямых одновременно. Т.е., предлагается определиться, объект АBC (BAC,ACB) - это прямая или точка? Будут упреки, что нехорошо манипулировать формулами и вводить в заблуждение честных математиков, поскольку по умолчанию предполагается, что элемент может быть или точкой, или прямой, или плоскостью, но не тем и другим одновременно.
Почему это нигде не оговорено у Гильберта?
Следовательно, нужно вводить новую аксиому - определение, что-то вроде:
любой элемент может принадлежать только одному множеству, но не двум множествам сразу.

И так можно любую формальную систему усложнять до бесконечности...

Поэтому думаю, что теорему Геделя можно применять на практике, только надо знать, как это делать... Т.е. она, теорема, работает...

[Ivan(novice)]

А сами по себе множества изначально противоречивый инструмент.

Еще немного про множества.
Счетные нерекурсивные множества - это обычный набор данных, одномерный массив, с успехом применяемый в программировании. Т.е. в теореме Геделя можно просто заменить слово "множество" на "конечное число".

[Лаплас]

Проблема в том, что другие математики могут быть заинтересованы в поддержке. В результате, вместо стоящих тем, будут пытаться развивать всякую ерунду.

Пусть появляется больше теорий, хороших и разных, тогда в конкуренции за умы и гранты сами собой будут «выживать» наиболее содержательные и интересные. В свою очередь, субъективная содержательность и интересность математической теории — это единственный возможный показатель того, что теория, вероятно, пригодится и в решении задач реального мира, а не только идеального математического. Представление о содержательном и интересном имеет в основании отношения реального мира, поэтому есть вероятность, что и интересная математическая теория тоже будет достаточно связана с реальностью. В итоге, получается, что математикам интересно, то людям хорошо. Все довольны.

[talash]

Иван, я настолько глубоко не разбирался в принципах построения формальных систем, поэтому не смогу оценить Ваши рассуждения.

А сами по себе множества изначально противоречивый инструмент.

Еще немного про множества.
Счетные нерекурсивные множества - это обычный набор данных, одномерный массив, с успехом применяемый в программировании. Т.е. в теореме Геделя можно просто заменить слово "множество" на "конечное число".

Вот смотрите, что я нарыл:
Бертран Рассел призывает не преувеличивать значение теорем Гёделя, поскольку они опираются на финитный формализм Гильберта (wiki)

С другой стороны утверждается:

Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя[~ 1] — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение. (C)wiki

То есть, Рассел утверждает, что теорема Гёделя работает в рамках формализма Гильберта, а Гильберт сотоварищи утверждают, что это закон природы.

И кто прав?

[talash]

Пусть появляется больше теорий, хороших и разных, тогда в конкуренции за умы и гранты сами собой будут «выживать» наиболее содержательные и интересные. В свою очередь, субъективная содержательность и интересность математической теории — это единственный возможный показатель того, что теория, вероятно, пригодится и в решении задач реального мира, а не только идеального математического. Представление о содержательном и интересном имеет в основании отношения реального мира, поэтому есть вероятность, что и интересная математическая теория тоже будет достаточно связана с реальностью. В итоге, получается, что математикам интересно, то людям хорошо. Все довольны.

А вот и не получается. Разгадывать реальные тайны интересно исследователям. А борцам интересно сесть на финансовые потоки. А чтобы устойчиво на них сидеть в науке, проще всего придумать какую-то муть и всей иерархией делать вид, что это не г-но, а конфетка.

[Ivan(novice)]

Вот смотрите, что я нарыл:
Бертран Рассел призывает не преувеличивать значение теорем Гёделя, поскольку они опираются на финитный формализм Гильберта (wiki)

С другой стороны утверждается:

Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя[~ 1] — две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение. (C)wiki

То есть, Рассел утверждает, что теорема Гёделя работает в рамках формализма Гильберта, а Гильберт сотоварищи утверждают, что это закон природы.

Мое личное мнение, едва ли теорема Гёделя - это некий закон природы. Это, скорее, показатель  ограниченности человеческого мышления. Т.е. любые наши умственные построения не могут исчерпывающе описать объективную реальность, всегда реальность богаче наших представлений о ней. Гёдель эту эмпирическую истину просто вывел математически.

[talash]

Мое личное мнение, едва ли теорема Гёделя - это некий закон природы.

И далее ИМХО показываете, что это таки закон природы:

Это, скорее, показатель  ограниченности человеческого мышления. Т.е. любые наши умственные построения не могут исчерпывающе описать объективную реальность, всегда реальность богаче наших представлений о ней. Гёдель эту эмпирическую истину просто вывел математически.

[talash]

Там немного не так. Множества - противоречивый инструмент, если  используются несчетные, бесконечные или рекурсивные множества. Об этом парадокс Рассела

И всё-таки тут просматривается замут, вот ещё нашёл:

Диагональный аргумент
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Диагональный аргумент (диагональный метод Кантора) — доказательство теоремы Кантора о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем алеф-0, и, значит, не является счётным[1]. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе:
...

Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в теореме Гёделя о неполноте, в доказательстве существования неразрешимого перечислимого множества и, в частности, в доказательстве неразрешимости проблемы остановки[3].

Я изначально ухватил суть, что Гёдель построил своё доказательство на "канторизме".

Что такое "канторизм" наглядно видно здесь:

В 1897 году началась интенсивная переписка Кантора с Гильбертом по поводу первого обнаруженного в теории множеств противоречия — парадокса Бурали-Форти, крайне обеспокоившего Гильберта. Кантор выразил мнение, что в теории множеств следует проводить различие между двумя типами понятий — трансфинитными и абсолютными («недоступными», как он выразился), из них только первые поддаются человеческому разуму, а в отношении вторых возможно только приближение к их постижению. Гильберта эта метафизика не убедила, по его мнению, неразрешимых математических задач нет и быть не может. Дискуссия продолжалась два года и ни к чему не привела. Решение парадоксов (не ставшее, впрочем, общепринятым) было найдено только 30 лет спустя, после замены «наивной теории множеств» Кантора на аксиоматическую, исключившую «недоступные» множества из числа легальных понятий[24].
wiki

Метафизика.

[talash]

Конфликты вокруг теории множеств (1878—1889)
Канторовская теория множеств натолкнулась на резкую критику со стороны ряда известных математиков-современников — Анри Пуанкаре[11]; позднее — Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра (см. Споры о теории Кантора[en]). Они напоминали, что до Кантора все корифеи математики, от Аристотеля до Гаусса, считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием[12]. Положение усугубило обнаружение в первой версии теории множеств губительных противоречий. Критика была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл «канторизм» тяжёлой болезнью, поразившей математическую науку, и выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся[13]; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи»[11].

Резкой критике со стороны части видных математиков противостояли всемирная известность и одобрение других. В 1904 году Лондонское королевское общество присудило Кантору свою высшую математическую награду — медаль Сильвестра[14]. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше[15]. Бертран Рассел оценил теорию множеств как «один из главных успехов нашей эпохи», а Давид Гильберт назвал Кантора «математическим гением» и заявил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором»[16].

wiki

Задача борцов - сесть на финансовые потоки надолго, желательно навсегда и для этого им нужен "замут". Им нужно застойное болото, вместо развития, так как развитие неизбежно породит новых героев. В естественных науках они для этого используют нефальсифицируемость, например, неодарвинизм. В математике это ИМХО "канторизм", изначально противоречивый инструмент с множеством производных инструментов. При помощи костылей что-то там правят и всей иерархией делают вид, что занимаются наукой.

Печально, что вместо демаркации, как всегда произошёл слив. Вот это для меня по-прежнему загадка, аналогично почему неодарвинизм полностью вытеснил дарвинизм. Были две партии, вроде никто никого не переубедил. Почему одна из партий полностью исчезла? Неужели финансы решают всё?

[talash]

Пуанкаре называл «канторизм» тяжёлой болезнью, поразившей математическую науку, и выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся[13]
wiki

И похожая цитата из Дарвина

По-видимому, я прежде недооценил значение и распространенность этих последних форм вариаций, ведущих к прочным модификациям в строении, независимо от естественного отбора. Но так как в недавнее время мои выводы были превратно истолкованы, и утверждали, что я приписываю модифицирование видов исключительно естественному отбору, то мне, может быть, позволено будет заметить, что в первом и последующих изданиях этой книги я поместил на очень видном месте, именно в конце «Введения», следующие слова: «Я убежден, что естественный отбор был главным, но не исключительным фактором модификации». Но это не помогло. Велика сила упорного извращения; но история науки показывает, что, по счастию, действие этой силы непродолжительно.

http://charles-darwin.narod.ru/chapter15.html

Всё-таки это время когда-нибудь придёт, так как бесплодность имитаторов всё более очевидна. Но хотелось бы поскорее.